|ccclog 8 x & log 4 x & log 16 x 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2|=-32

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um determinante de uma matriz 3x3 que envolve logaritmos com diferentes bases e pede para encontrarmos o valor de que torna esse determinante igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes e como manipular logaritmos com bases diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que um determinante de uma matriz 3x3 é calculado usando a seguinte fórmula:
det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
onde a matriz é:
a & b & c d & e & f g & h & i
No nosso caso, a matriz é:
log8 x & log4 x & log16 x 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2

Passo 3

Vamos identificar os valores correspondentes na fórmula do determinante:
a = log8 x, b = log4 x, c = log16 x
d = 1, e = 1, f = 1
g = 1, h = 2, i = 2

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do determinante:
det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Substituindo os valores:
det = log8 x (1 times 2 - 1 times 2) - log4 x (1 times 2 - 1 times 2) + log16 x (1 times 2 - 1 times 1)

Passo 5

Simplificando os cálculos dentro dos parênteses:
1 times 2 - 1 times 2 = 2 - 2 = 0
1 times 2 - 1 times 2 = 2 - 2 = 0
1 times 2 - 1 times 1 = 2 - 1 = 1
Então, o determinante fica:
det = log8 x times 0 - log4 x times 0 + log16 x times 1 = log16 x

Passo 6

Sabemos que o determinante é igual a log16 x = -32 , então:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 7

Para resolver x = 16^-32 , podemos reescrever a equação na forma exponencial:

Passo 8

Sabendo que x = (2^4)^-32 = 2^4 times -32 = 2^-6 = 12^6 = 164 , substituímos na equação:

Resposta

O valor de é .

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