Escreva a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(2,1,0), B=(1,2,0) e C=(1,1,0). Resposta: z=0

Passo 1

Vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos específicos: , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano pode ser escrita como:
Ax + By + Cz + D = 0
onde , , são os coeficientes que determinam a orientação do plano, e é o termo constante.

Passo 3

Para encontrar esses coeficientes, precisamos determinar um vetor normal ao plano, que é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Podemos encontrar esse vetor normal usando o produto vetorial entre dois vetores que pertencem ao plano.

Passo 4

Vamos definir dois vetores no plano usando os pontos dados:
AB = B - A = (1-2, 2-1, 0-0) = (-1, 1, 0)
AC = C - A = (1-2, 1-1, 0-0) = (-1, 0, 0)

Passo 5

Agora, calculamos o produto vetorial entre n = AB times AC = i & j & k -1 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 = (0, 0, 1 cdot (-1) - 1 cdot (-1)) = (0, 0, 0) e :
Perceba que o vetor normal resultou em zero, o que indica que os vetores e são colineares, ou seja, os pontos estão na mesma linha.

Passo 6

Como todos os pontos têm a coordenada , podemos concluir que o plano é o plano , que é paralelo ao plano XY e está localizado no nível no espaço tridimensional.

Resposta

A equação geral do plano é .

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