O ouro possui uma estrutura cristalina cúbica cuja célula unitária tem uma aresta de 407,9 pm (pico-metro) de comprimento. A densidade do metal é de 19,3 g/cm3. Com esses dados e com a massa atômica, calcular o número de átomos de ouro em uma célula unitária. Que tipo de rede cúbica o ouro possui?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa questão sobre a estrutura cristalina do ouro. O enunciado nos dá informações sobre a aresta da célula unitária, a densidade do ouro e a massa atômica. A matéria aqui envolve química física, especificamente estruturas cristalinas e propriedades físicas dos metais. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas que relacionam massa, densidade e volume, além de entender os tipos de redes cúbicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma célula unitária. É a menor parte da estrutura cristalina que, repetida no espaço, forma todo o cristal. No caso, a célula é cúbica com uma aresta de 407,9 pm. Precisamos converter essa medida para centímetros para ficar compatível com a densidade dada em g/cm³.
Sabemos que:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o volume da célula unitária. Como é um cubo, o volume $ V $ é dado por:
Substituindo:
Passo 4
A densidade ($ \rho $) é dada por:
Queremos encontrar a massa da célula unitária. Rearranjando a fórmula:
Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos relacionar essa massa com a massa atômica do ouro. A massa atômica do ouro ($ M
N_A $), que é $ 6,022 \times 10^{23} $ átomos/mol.
A quantidade de mols ($ n $) na massa da célula é:
Passo 6
Agora, multiplicamos o número de mols pelo número de Avogadro para encontrar o número de átomos ($ N $):
Passo 7
Encontramos que há aproximadamente 4 átomos de ouro por célula unitária. Isso nos dá uma pista sobre o tipo de rede cúbica que o ouro possui. Nas redes cúbicas, temos:
- Cúbica Simples: 1 átomo por célula
- Cúbica de Corpo Centrado: 2 átomos por célula
- Cúbica de Face Centradas (FCC): 4 átomos por célula
Como calculamos 4 átomos por célula, o ouro possui uma estrutura cúbica de face centrada (FCC).
Resposta
O número de átomos de ouro em uma célula unitária é aproximadamente 4, e o ouro possui uma estrutura de rede cúbica de face centrada (FCC).