Se P(B) = 0,4; P(A) = 0,7 e P(A ∩ B)=0,3; calcule P(A|B^c).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! A gente tem que calcular $ P(A|B^c) $, que é a probabilidade do evento $ A $ acontecer dado que o evento $ B $ não acontece. A matéria aqui é probabilidade condicional e complementos. Vamos precisar das seguintes informações:
  • $ P(B) = 0,4 $
  • $ P(A) = 0,7 $
  • $ P(A \cap B) = 0,3 $

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é $ B^c $. O $ B^c $ representa o complemento de $ B $, ou seja, a probabilidade de $ B $ não ocorrer. A fórmula para encontrar o complemento de um evento é:
B^c
Então, vamos calcular:
B^c

Passo 3

Agora, precisamos encontrar $ P(A \cap B^c) $, que é a probabilidade de ambos $ A $ acontecer e $ B $ não acontecer ao mesmo tempo. A gente pode usar a seguinte relação:
P(A cap B^c)
Isso porque $ P(A) $ inclui todas as situações em que $ A $ ocorre, tanto com $ B $ quanto sem $ B $. Subtraindo $ P(A \cap B) $, a gente fica só com as situações onde $ A $ ocorre e $ B $ não.
Vamos calcular:
A

Passo 4

Agora que já temos $ P(A \cap B^c) $ e $ P(B^c) $, podemos usar a fórmula da probabilidade condicional:
P(A cap B^c)
Substituindo os valores que encontramos:
P(B^c)

Resposta

A probabilidade de $ A $ ocorrer dado que $ B $ não ocorre é aproximadamente 0,666 (ou $ \frac{2}{3} $).

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