(3,0 p(8) Considere uma camada esférica maciça isolante de raio interno a, raio externo 6 le densidade volumétrica de carga elétrica rho=alpha / r^3, onde alpha é uma constante conhecida e r é a distância ao centro da esfera. d) r>b.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletrostática que envolve uma camada esférica isolante. A camada tem um raio interno a, raio externo b, e a densidade de carga elétrica é dada por rho = alphar^3, onde alpha é uma constante e r é a distância do centro da esfera. O que precisamos encontrar aqui é o campo elétrico para um ponto que está fora da esfera, ou seja, quando r > b.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para calcular o campo elétrico fora da esfera, podemos tratar toda a carga da camada como se estivesse concentrada no centro. Isso simplifica muito os cálculos e é uma consequência do Teorema de Gauss para simetria esférica.

Passo 3

Para encontrar a carga total Q da camada esférica, vamos integrar a densidade de carga rho sobre o volume da esfera. A densidade é dada por rho = alphar^3, então a carga total é:
Q = integrala^b rho cdot 4pi r^2 dr = integrala^b alphar^3 cdot 4pi r^2 dr = 4pi alpha integrala^b 1r dr

Passo 4

Calculando a integral:
4pi alpha integrala^b 1r dr = 4pi alpha [ln r]a^b = 4pi alpha (ln b - ln a) = 4pi alpha ln ( ba )
Portanto, a carga total Q é:
Q = 4pi alpha ln ( ba )

Passo 5

Agora, para encontrar o campo elétrico fora da esfera ( r > b), usamos a lei de Gauss. A simetria esférica nos permite escrever:
E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0
Onde E é o campo elétrico e varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 6

Resolvendo para E:
E = Q4pi varepsilon0 r^2 = 4pi alpha ln ( ba )4pi varepsilon0 r^2 = alpha ln ( ba )varepsilon0 r^2

Resposta

O campo elétrico para r > b é dado por:
E = alpha ln ( ba )varepsilon0 r^2

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