(3,0 p(8) Considere uma camada esférica maciça isolante de raio interno a, raio externo 6 le densidade volumétrica de carga elétrica rho=alpha / r^3, onde alpha é uma constante conhecida e r é a distância ao centro da esfera. c) a

Passo 1

Então, vamos lá! A questão nos pede para analisar uma camada esférica maciça isolante com raio interno a e raio externo b. A densidade volumétrica de carga elétrica nessa camada é dada por rho = alphar^3, onde alpha é uma constante conhecida e r é a distância ao centro da esfera. Precisamos encontrar o campo elétrico para a região onde a < r < b. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa na eletrostática para calcular campos elétricos de sistemas com simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é proporcional à carga elétrica total dentro dessa superfície. Em equação, fica assim:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Onde E é o campo elétrico, dA é um elemento de área da superfície fechada, Qinterno é a carga total dentro dessa superfície e varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Como estamos lidando com uma distribuição de carga esférica, a simetria nos ajuda muito. Vamos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio r, onde a < r < b. Devido à simetria, o campo elétrico E será radial e terá a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a carga total Qinterno dentro da superfície gaussiana. A densidade de carga é rho = alphar^3, então a carga dentro de um raio r é a integral da densidade sobre o volume da esfera de raio r:
Qinterno = integrala^r rho cdot dV = integrala^r alphar^3 cdot 4pi r^2 dr = 4pi alpha integrala^r 1r dr = 4pi alpha ln(ra)

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss, temos:
E cdot 4pi r^2 = Qinternovarepsilon0
Substituindo Qinterno que calculamos:
E cdot 4pi r^2 = 4pi alpha ln(ra)varepsilon0

Passo 6

Agora, isolando o campo elétrico E:
E = alpha ln(ra)varepsilon0 r^2

Resposta

O campo elétrico para a região a < r < b é dado por:
E = alpha ln(ra)varepsilon0 r^2

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