p(8) Considere uma camada esférica maciça isolante de raio interno
, raio externo 6 le densidade volumétrica de carga elétrica
, onde
é uma constante conhecida e
é a distância ao centro da esfera. a) Calcule a carga elétrica total da camadta, construa a superfície Gaussiana e calcule o campo elétrico gerado pela camada etu D)
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma camada esférica isolante com raio interno
e raio externo
(imagino que o “6 le” seja um erro de digitação e o correto seja
). A densidade de carga elétrica dessa camada é dada por
, onde
é uma constante conhecida e
é a distância ao centro da esfera. Precisamos calcular a carga elétrica total da camada e o campo elétrico gerado por essa camada para uma distância
. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a carga elétrica total da camada. A carga total
pode ser encontrada integrando a densidade de carga sobre o volume da camada. A densidade de carga é
.
Passo 3
A camada esférica tem raio interno
e raio externo
. Então, o volume
da camada é a diferença entre os volumes das duas esferas:
Passo 4
Agora, para encontrar a carga total
, integramos a densidade de carga sobre todo o volume da camada:
Passo 5
Simplificando a integral:
Passo 6
Então, a carga elétrica total da camada é:
Passo 7
Agora, vamos calcular o campo elétrico para
. Para isso, usamos a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga interna à superfície gaussiana.
Passo 8
Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio
. Como a camada de carga está entre
e
, não há carga dentro dessa superfície gaussiana.
Passo 9
De acordo com a Lei de Gauss:
Como
, temos:
Passo 10
Isso implica que o campo elétrico
para
é zero:
Resposta
A carga elétrica total da camada é
e o campo elétrico para
é
.