(3,0 p(8) Considere uma camada esférica maciça isolante de raio interno a, raio externo 6 le densidade volumétrica de carga elétrica rho=alpha / r^3, onde alpha é uma constante conhecida e r é a distância ao centro da esfera. a) Calcule a carga elétrica total da camadta, construa a superfície Gaussiana e calcule o campo elétrico gerado pela camada etu D) r,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma camada esférica isolante com raio interno a e raio externo b (imagino que o “6 le” seja um erro de digitação e o correto seja b). A densidade de carga elétrica dessa camada é dada por rho = alphar^3, onde alpha é uma constante conhecida e r é a distância ao centro da esfera. Precisamos calcular a carga elétrica total da camada e o campo elétrico gerado por essa camada para uma distância r < a. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga elétrica total da camada. A carga total Q pode ser encontrada integrando a densidade de carga sobre o volume da camada. A densidade de carga é rho = alphar^3.

Passo 3

A camada esférica tem raio interno a e raio externo b. Então, o volume V da camada é a diferença entre os volumes das duas esferas:
V = 43pi b^3 - 43pi a^3 = 43pi (b^3 - a^3)

Passo 4

Agora, para encontrar a carga total Q, integramos a densidade de carga sobre todo o volume da camada:
Q = integrala^b rho cdot 4pi r^2 dr = integrala^b alphar^3 cdot 4pi r^2 dr

Passo 5

Simplificando a integral:
Q = 4pi alpha integrala^b 1r dr = 4pi alpha [ln r]a^b = 4pi alpha (ln b - ln a) = 4pi alpha ln(ba)

Passo 6

Então, a carga elétrica total da camada é:
Q = 4pi alpha ln(ba)

Passo 7

Agora, vamos calcular o campo elétrico para r < a. Para isso, usamos a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga interna à superfície gaussiana.

Passo 8

Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r < a. Como a camada de carga está entre a e b, não há carga dentro dessa superfície gaussiana.

Passo 9

De acordo com a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Como Qinterno = 0, temos:
oint E cdot dA = 0

Passo 10

Isso implica que o campo elétrico E para r < a é zero:
E = 0 para r < a

Resposta

A carga elétrica total da camada é Q = 4pi alpha ln(ba) e o campo elétrico para r < a é E = 0.

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