O pai e filho fazem aniversário no mesmo dia. Hoje a idade do pai é 3 anos a menos que quatro vezes a idade do filho. Daqui a exato 20 anos a idade do pai será um ano a mais que o dobro da idade do filho. Quando o filho tinha 5 anos, o pai tinha quantos anos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado fala sobre as idades de um pai e seu filho que fazem aniversário no mesmo dia. Vamos usar álgebra, especialmente sistemas de equações, para descobrir a resposta. Precisamos encontrar as idades atuais do pai e do filho e, a partir daí, descobrir quantos anos o pai tinha quando o filho tinha 5 anos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja $ P $ a idade atual do pai.
  • Seja $ F $ a idade atual do filho.

Passo 3

Agora, vamos traduzir as informações do problema em equações.
  1. Hoje a idade do pai é 3 anos a menos que quatro vezes a idade do filho:
    P = 4F - 3
  2. Daqui a 20 anos, a idade do pai será um ano a mais que o dobro da idade do filho:
    P + 20 = 2(F + 20) + 1

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo.
Primeiro, simplificamos a segunda equação:
P + 20 = 2F + 40 + 1 P + 20 = 2F + 41 P = 2F + 21
Agora, temos duas expressões para $ P $:
  1. $ P = 4F - 3 $
  2. $ P = 2F + 21 $
Como ambas são iguais a $ P $, podemos igualar as duas equações:
P
Subtraímos $ 2F $ de ambos os lados:
P = 4F - 3
Adicionamos 3 a ambos os lados:
P = 2F + 21
Dividimos por 2:
P
Agora que sabemos que o filho tem 12 anos, substituímos esse valor na primeira equação para encontrar $ P $:
4F - 3 = 2F + 21
Então, o pai tem 45 anos atualmente.

Passo 5

Queremos saber quantos anos o pai tinha quando o filho tinha 5 anos. Sabemos que atualmente:
  • Filho: 12 anos
  • Pai: 45 anos
A diferença de idade entre eles é:
45 - 12 = 33 anos
Quando o filho tinha 5 anos, o pai tinha:
5 + 33 = 38 anos

Resposta

Quando o filho tinha 5 anos, o pai tinha 38 anos.

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