Parametrize a curva interseção das superfícies e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Nosso exercício pede para parametrizar a curva que resulta da interseção das superfícies e . Isso envolve geometria analítica e um pouco de cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a interseção de duas superfícies e então expressar essa curva em termos de uma variável, geralmente .
Passo 2
Primeiro, para encontrar a interseção das duas superfícies, igualamos as duas expressões para :
Passo 3
Agora, vamos reorganizar essa equação para facilitar a identificação da curva. Vamos mover todos os termos para um lado da igualdade:
Passo 4
Perfeito, agora temos uma equação quadrática em e . Vamos completá-la para identificar de que tipo de curva se trata. Completar o quadrado ajuda a reescrever a equação em uma forma mais reconhecível.
Para :
Para :
Passo 5
Substituindo essas expressões de volta na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Essa é a equação de um círculo com centro em e raio . Sabemos que podemos parametrizar um círculo usando funções trigonométricas, onde varia de a .
Então, as parametrizações para e são:
Passo 7
Agora, para encontrar , podemos usar uma das equações das superfícies. Vamos usar para facilitar:
Simplificando:
Resposta
A parametrização da curva de interseção é dada por: