Parametrize a curva interseção das superfícies z = x^2 + y^2 e z = 2x + 2y - 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nosso exercício pede para parametrizar a curva que resulta da interseção das superfícies e . Isso envolve geometria analítica e um pouco de cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a interseção de duas superfícies e então expressar essa curva em termos de uma variável, geralmente .

Passo 2

Primeiro, para encontrar a interseção das duas superfícies, igualamos as duas expressões para :

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para facilitar a identificação da curva. Vamos mover todos os termos para um lado da igualdade:

Passo 4

Perfeito, agora temos uma equação quadrática em e . Vamos completá-la para identificar de que tipo de curva se trata. Completar o quadrado ajuda a reescrever a equação em uma forma mais reconhecível.
Para :
Para :

Passo 5

Substituindo essas expressões de volta na equação original:
Simplificando:

Passo 6

Essa é a equação de um círculo com centro em e raio . Sabemos que podemos parametrizar um círculo usando funções trigonométricas, onde varia de a .
Então, as parametrizações para e são:

Passo 7

Agora, para encontrar , podemos usar uma das equações das superfícies. Vamos usar para facilitar:
Simplificando:

Resposta

A parametrização da curva de interseção é dada por:
onde varia no intervalo .

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