O potencial elétrico é
volts em qualquer ponto do plano
e
. A distância é medida em metros.
a) Ache a taxa de variação do potencial no ponto
, na direção do vetor unitário
.
a) Ache a taxa de variação do potencial no ponto
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de potencial elétrico
definida no plano
. Queremos encontrar a taxa de variação desse potencial no ponto
na direção de um vetor unitário específico, dado por
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente da função e fazer o produto escalar com o vetor direção.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Matemáticamente, é representado por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
Derivada parcial de
em relação a : -
Derivada parcial de
em relação a :
Portanto, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto específico
. Substituindo
e
na expressão do gradiente:
Simplificando:
Sabemos que
e
, então:
Passo 4
Para encontrar a taxa de variação na direção do vetor unitário
, usamos a fórmula da derivada direcional:
Vamos calcular o produto escalar do gradiente no ponto
com o vetor direção
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A taxa de variação do potencial no ponto
na direção do vetor dado é
volts por metro.