O potencial elétrico é V(x, y) volts em qualquer ponto do plano x y e V(x, y) = e^(-2x) * cos(2y). A distância é medida em metros.
a) Ache a taxa de variação do potencial no ponto (0, pi/4), na direção do vetor unitário cos(pi/6) * i + sen(pi/6) * j.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de potencial elétrico definida no plano xy. Queremos encontrar a taxa de variação desse potencial no ponto (0, pi/4) na direção de um vetor unitário específico, dado por . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente da função e fazer o produto escalar com o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função V(x, y). O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de V em relação a x e y. Matemáticamente, é representado por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial de V em relação a x:
  2. Derivada parcial de V em relação a y:
Portanto, o gradiente é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto específico (0, pi/4). Substituindo x = 0 e na expressão do gradiente:
Simplificando:
Sabemos que e , então:

Passo 4

Para encontrar a taxa de variação na direção do vetor unitário , usamos a fórmula da derivada direcional:
Vamos calcular o produto escalar do gradiente no ponto (0, pi/4) com o vetor direção u:
Sabemos que e , então:

Resposta

A taxa de variação do potencial no ponto (0, pi/4) na direção do vetor dado é -1 volts por metro.

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