Calcule a integral de linha de
sobre a curva
,
.
Passo 1
Beleza! A gente vai calcular a integral de linha do campo vetorial
sobre a curva
no intervalo de
de
a
. Vamos precisar saber sobre campo vetorial, parametrização de curvas e integrais de linha. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, ela mede o quanto o campo vetorial “atua” ao longo de uma curva. A fórmula geral é:
onde
é a parametrização da curva e
é a derivada dessa parametrização.
Passo 3
Vamos identificar nossa parametrização:
A derivada dessa parametrização é:
Passo 4
Agora, substituímos
no campo vetorial
:
Como
é o vetor na direção y, podemos escrever:
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, integramos esse resultado de
a
:
Podemos tirar o sinal negativo para facilitar:
Passo 7
Para resolver
, usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula:
Temos:
Passo 8
Avaliando de
a
:
Sabendo que
,
,
e
, temos:
Resposta
A integral de linha vale
.