Calcule a integral de linha de F(x, y) = x * j sobre a curva gamma(t) = (t, cos(t)), 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a integral de linha do campo vetorial sobre a curva no intervalo de t de 0 a pi. Vamos precisar saber sobre campo vetorial, parametrização de curvas e integrais de linha. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, ela mede o quanto o campo vetorial “atua” ao longo de uma curva. A fórmula geral é:
onde gamma(t) é a parametrização da curva e é a derivada dessa parametrização.

Passo 3

Vamos identificar nossa parametrização:
A derivada dessa parametrização é:

Passo 4

Agora, substituímos gamma(t) no campo vetorial F(x, y):
Como vec(j) é o vetor na direção y, podemos escrever:

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, integramos esse resultado de 0 a pi:
Podemos tirar o sinal negativo para facilitar:

Passo 7

Para resolver , usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula:
Temos:

Passo 8

Avaliando de 0 a pi:
Sabendo que , , e , temos:

Resposta

A integral de linha vale -pi.

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