Uma parede plana é composta de dois materiais A e B. A camada do material A tem uma geração de calor uniforme , condutividade térmica espessura . A camada do material B , com condutividade térmica , não tem geração de calor. A superfície interna do material A é bem isolada, enquanto a superfície externa do material B é resfriada por uma corrente de ar com e um coeficiente convectivo de . Despreze os efeitos da radiação na sua análise e considere que a temperatura na interface entre os dois materiais é igual a . Esboce a distribuição de temperaturas existente no interior da parede composta em condições de regime permanente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transferência de calor em uma parede composta por dois materiais, A e B. A matéria que vamos usar aqui é Transferência de Calor, especificamente Condução Térmica e Geração de Calor Interna. Para resolver, vamos precisar das propriedades térmicas dos materiais, como condutividade térmica, geração de calor no material A, e também as condições de contorno, como isolamento e resfriamento por convecção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura da parede. Ela é composta por duas camadas:
Material A:
Geração de calor interna:
Condutividade térmica:
Espessura:
Material B:
Sem geração de calor
Condutividade térmica:
Espessura: não especificada, mas não precisamos dela diretamente para o esboço.
A temperatura na interface entre os dois materiais é .
Passo 3
Vamos começar analisando Material A. Como há geração de calor interna, a equação de condução com geração de calor é:
Integrando essa equação duas vezes, obtemos a distribuição de temperatura dentro do Material A.
Passo 4
Integrando a equação, temos:
Primeira integração:
Segunda integração:
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes e .
Passo 5
A condição de contorno na superfície interna do Material A (x=0) é isolamento, ou seja, sem fluxo de calor:
Aplicando isso na equação da primeira derivada:
0 = -dotqA2 kA cdot 0 + C1 Rightarrow C1 = 0
Então, a equação da temperatura no Material A fica:
T(x) = -dotqA4 kA x^2 + C2
Passo 6
Sabemos que na interface (x = L_A = 0,2 m), a temperatura é T1 = 75^circ C. Vamos usar isso para encontrar C2:
75 = -2,5 times 10^44 times 50 (0,2)^2 + C2
Calculando o termo:
- 2,5 times 10^4200 cdot 0,04 = -5 times 10^2 cdot 0,04 = -20
Então:
75 = -20 + C2 Rightarrow C2 = 95^circ C
Portanto, a distribuição de temperatura no Material A é:
Agora, vamos para o Material B. Nesse material, não há geração de calor, então a equação de condução é simplesmente:
d^2 Tdx^2 = 0
Integrando duas vezes:
Primeira integração:
dTdx = C3
Segunda integração:
T(x) = C3 x + C4
Passo 8
Aplicamos as condições de contorno no Material B. Na interface (x=0, referente ao Material B), a temperatura é T1 = 75^circ C, e na superfície externa, ocorre convecção com o ar:
- kB dTdx|x=LB = h (T(LB) - Tinfty)
Mas como não precisamos do valor numérico, vamos deixar apenas a forma geral para o esboço.
Passo 9
Com todas essas informações, podemos esboçar a distribuição de temperaturas:
No Material A, a temperatura começa em 95^circ C na superfície interna (x=0) e diminui quadraticamente até 75^circ C na interface.
No Material B, a temperatura começa em 75^circ C na interface e diminui linearmente até 20^circ C na superfície externa devido à convecção.
Resposta
A distribuição de temperaturas na parede composta em regime permanente apresenta uma curva parabólica decrescente no Material A, de 95^circ C até 75^circ C na interface, seguida de uma reta decrescente no Material B, de 75^circ C até 20^circ C na superfície externa resfriada pelo ar.