Uma parede plana é composta de dois materiais A e B. A camada do material A tem uma geração de calor uniforme dotqA=2,5 times 10^4 W / m^3, condutividade térmica kA=50 W /(m K) e espessura LA=20 cm. A camada do material B , com condutividade térmica kB=90 W /(m cdot K), não tem geração de calor. A superfície interna do material A é bem isolada, enquanto a superfície externa do material B é resfriada por uma corrente de ar com Tinfty=20^circ C e um coeficiente convectivo de h=180 W / m^2 K. Despreze os efeitos da radiação na sua análise e considere que a temperatura na interface entre os dois materiais é igual a T1=75^circ C. Esboce a distribuição de temperaturas existente no interior da parede composta em condições de regime permanente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transferência de calor em uma parede composta por dois materiais, A e B. A matéria que vamos usar aqui é Transferência de Calor, especificamente Condução Térmica e Geração de Calor Interna. Para resolver, vamos precisar das propriedades térmicas dos materiais, como condutividade térmica, geração de calor no material A, e também as condições de contorno, como isolamento e resfriamento por convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da parede. Ela é composta por duas camadas:
  • Material A:
    • Geração de calor interna: dotqA = 2,5 times 10^4 , W/m^3
    • Condutividade térmica: kA = 50 , W/(m cdot K)
    • Espessura: LA = 20 , cm = 0,2 , m
  • Material B:
    • Sem geração de calor
    • Condutividade térmica: kB = 90 , W/(m cdot K)
    • Espessura: não especificada, mas não precisamos dela diretamente para o esboço.
A temperatura na interface entre os dois materiais é T1 = 75^circ C.

Passo 3

Vamos começar analisando Material A. Como há geração de calor interna, a equação de condução com geração de calor é:
d^2 Tdx^2 + dotqAkA = 0
Integrando essa equação duas vezes, obtemos a distribuição de temperatura dentro do Material A.

Passo 4

Integrando a equação, temos:
  1. Primeira integração:
dTdx = -dotqA2 kA x + C1
  1. Segunda integração:
T(x) = -dotqA4 kA x^2 + C1 x + C2
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes C1 e C2.

Passo 5

A condição de contorno na superfície interna do Material A (x=0) é isolamento, ou seja, sem fluxo de calor:
dTdx|x=0 = 0
Aplicando isso na equação da primeira derivada:
0 = -dotqA2 kA cdot 0 + C1 Rightarrow C1 = 0
Então, a equação da temperatura no Material A fica:
T(x) = -dotqA4 kA x^2 + C2

Passo 6

Sabemos que na interface (x = L_A = 0,2 m), a temperatura é T1 = 75^circ C. Vamos usar isso para encontrar C2:
75 = -2,5 times 10^44 times 50 (0,2)^2 + C2
Calculando o termo:
- 2,5 times 10^4200 cdot 0,04 = -5 times 10^2 cdot 0,04 = -20
Então:
75 = -20 + C2 Rightarrow C2 = 95^circ C
Portanto, a distribuição de temperatura no Material A é:
T(x) = -2,5 times 10^4200 x^2 + 95 = -125 x^2 + 95

Passo 7

Agora, vamos para o Material B. Nesse material, não há geração de calor, então a equação de condução é simplesmente:
d^2 Tdx^2 = 0
Integrando duas vezes:
  1. Primeira integração:
dTdx = C3
  1. Segunda integração:
T(x) = C3 x + C4

Passo 8

Aplicamos as condições de contorno no Material B. Na interface (x=0, referente ao Material B), a temperatura é T1 = 75^circ C, e na superfície externa, ocorre convecção com o ar:
- kB dTdx|x=LB = h (T(LB) - Tinfty)
Mas como não precisamos do valor numérico, vamos deixar apenas a forma geral para o esboço.

Passo 9

Com todas essas informações, podemos esboçar a distribuição de temperaturas:
  • No Material A, a temperatura começa em 95^circ C na superfície interna (x=0) e diminui quadraticamente até 75^circ C na interface.
  • No Material B, a temperatura começa em 75^circ C na interface e diminui linearmente até 20^circ C na superfície externa devido à convecção.

Resposta

A distribuição de temperaturas na parede composta em regime permanente apresenta uma curva parabólica decrescente no Material A, de 95^circ C até 75^circ C na interface, seguida de uma reta decrescente no Material B, de 75^circ C até 20^circ C na superfície externa resfriada pelo ar.

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