Na parte inferior de uma acrobacia aérea na qual o avião descreve um círculo no plano vertical x-y a uma altitude de 400 m , o avião tem uma velocidade de 600
sem aceleração horizontal x. O raio de curvatura da trajetória na parte inferior é de 1200 m . Para o radar de rastreamento em O, determine os valores registrados de
e
das coordenadas esféricas para este instante.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um avião fazendo uma manobra circular no plano vertical (x-y) a uma altitude de 400 metros. Ele está se movendo com uma velocidade de 600 km/h e sem aceleração horizontal no eixo x. O raio da trajetória é de 1200 metros na parte inferior do voo. Queremos descobrir os valores de
e
nas coordenadas esféricas para esse instante, do ponto de vista de um radar localizado em O.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática em coordenadas esféricas, que tratam das posições e movimentos em termos de raio (
) e ângulo (
). Também vamos precisar converter a velocidade de km/h para m/s para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a velocidade do avião de quilômetros por hora para metros por segundo, já que as outras grandezas estão em metros. A fórmula para essa conversão é:
Então,
Passo 3
Agora, precisamos entender as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, a posiç��o de um ponto é descrita por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo polar, medindo a inclinação a partir do eixo z. -
é o ângulo azimutal, no plano x-y.
Como o movimento está no plano vertical x-y, e o avião está a uma altitude de 400 m, podemos considerar que
está constante ou não varia significativamente, então vamos focar em
e
.
Passo 4
Vamos determinar
, que é a segunda derivada de
em relação ao tempo, ou seja, a aceleração radial. Como o avião está mantendo uma altitude constante de 400 m, a distância
do radar ao avião está mudando devido ao movimento circular.
A aceleração radial em coordenadas esféricas é dada por:
Mas como estamos considerando
constante na altitude (400 m), a derivada temporal de
será zero, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação ao tempo, ou seja, a velocidade angular. Sabemos que a velocidade linear
está relacionada à velocidade angular por:
Rearranjando para encontrar
:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora que temos
, podemos calcular
usando a fórmula que obtivemos:
Substituindo os valores:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular
, que é a segunda derivada de
em relação ao tempo, ou seja, a aceleração angular. Em movimentos circulares uniformes, onde a velocidade angular é constante,
é igual a zero.
Resposta
Os valores registrados pelo radar são:
e