Uma bola é arremessada verticalmente de uma altura de 12 m de um poço de elevador com velocidade inicial de 18 m / s. No mesmo instante, um elevador de plataforma aberta passa pelo nível de 5 m , subindo com velocidade de 2 m / s. Determine (a) quando e onde a bola atinge o elevador e (b) a velocidade relativa da bola em relação ao elevador quando a bola o atinge.
Resposta: t=3,652 s e y =12,30 m, Vrelativa =19,826 m / s

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma bola que é arremessada para cima a partir de uma altura de 12 metros com uma velocidade inicial de . Simultaneamente, um elevador começa a subir do nível de 5 metros com uma velocidade constante de . Precisamos descobrir:
(a) Quando e onde a bola atinge o elevador.
(b) Qual é a velocidade relativa da bola em relação ao elevador no momento do impacto.
Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente variado (cinemática), considerando a aceleração devido à gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos modelar a posição da bola e do elevador em função do tempo.
Para a bola:
A posição da bola em qualquer instante ybola(t) = y0 + v0 t - 12 g t^2 pode ser descrita pela equação:
ye<=vador(t) = yinicial + ve<=vador t
Onde:
  • (altura inicial)
  • (velocidade inicial)
  • (aceleração da gravidade)
Para o elevador:
Como o elevador está subindo com velocidade constante, sua posição em função do tempo é:
Onde:

Passo 3

Agora, vamos igualar as posições da bola e do elevador para encontrar o tempo ybola(t) = ye<=vador(t) em que eles se encontram:
12 + 18 t - 12 times 9,8 times t^2 = 5 + 2 t
Substituindo as equações:

Passo 4

Simplificamos a equação:
12 + 18 t - 4,9 t^2 = 5 + 2 t
Levantamos todos os termos para um lado:
-4,9 t^2 + 16 t + 7 = 0
Multiplicamos por -1 para facilitar:
4,9 t^2 - 16 t - 7 = 0

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
  • De
  • t = 16 pm raiz393,29,8
  • t = 16 pm 19,8249,8
Calculando o discriminante:
t = 35,8249,8 approx 3,66 , s
Então:
Desprezando a solução negativa:

Passo 6

Agora que temos o tempo, vamos encontrar a posição onde ocorre o impacto. Podemos usar qualquer uma das equações de posição. Vamos usar a do elevador:
ye<=vador(3,66) = 5 + 2 times 3,66 = 5 + 7,32 = 12,32 , m

Passo 7

Para encontrar a velocidade relativa da bola em relação ao elevador no momento do impacto, primeiro calculamos a velocidade da bola e a do elevador.
A velocidade da bola em qualquer instante vbola(t) = v0 - g t = 18 - 9,8 times 3,66 approx 18 - 35,868 = -17,868 , m/s é:
ve<=vador = 2 , m/s
A velocidade do elevador é constante:
vrelativa = vbola - ve<=vador = -17,868 - 2 = -19,868 , m/s
A velocidade relativa é:
O sinal negativo indica que a bola está se movendo para baixo em relação ao elevador.

Resposta

t approx 3,66 , s, y approx 12,32 , m, Vrelativa approx 19,868 , m/s

Exercícios relacionados