Uma partícula acha-se confinada entre duas paredes rígidas, separadas entre si por uma distância l. Qual é a probabilidade de ser encontrada a uma distância 1 / 3 de uma das paredes (a) quando n=1, (b) quando n=2, e © quando n=3. Considere que a função de onda que descreve este caso é dada por: Psi=A sin (n pi xl) onde n=1,2,3, ldots

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula que está presa entre duas paredes rígidas, separadas por uma distância . Queremos descobrir a probabilidade de encontrar essa partícula a uma distância de de uma das paredes para os casos onde , e . Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especialmente a função de onda e a probabilidade associada a ela.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a função de onda dada:
Psi(x) = A sin(n pi xl)
Essa função descreve o estado quântico da partícula dentro da caixa. Para encontrar a probabilidade, precisamos primeiro determinar a constante de normalização .

Passo 3

A constante de normalização integral0^l |Psi(x)|^2 dx = 1 garante que a partícula esteja em algum lugar dentro da caixa, ou seja, a integral da probabilidade de encontrar a partícula de integral0^l A^2 sin^2(n pi xl) dx = 1 a deve ser igual a 1:
Substituindo a função de onda:

Passo 4

Vamos resolver essa integral. Sabemos que:
integral sin^2(ax) dx = x2 - sin(2ax)4a + C
Aplicando isso na nossa integral:
A^2 [ x2 - sin(2n pi xl)4 cdot n pil ]0^l = 1
Calculando os limites:
A^2 ( l2 - 0 ) = 1 Rightarrow A^2 cdot l2 = 1 Rightarrow A = raiz2l

Passo 5

Agora que temos Psi(x) = raiz2l sin(n pi xl) , podemos escrever a função de onda normalizada:
A probabilidade de encontrar a partícula em uma posição específica é dada por .

Passo 6

Vamos calcular |Psi(l3)|^2 = (raiz2l sin(n pi cdot l3l))^2 = 2l sin^2(n pi3) em :

Passo 7

Agora, vamos calcular para cada valor de |Psi(l3)|^2 = 2l sin^2(pi3) = 2l (raiz32)^2 = 2l cdot 34 = 32l :
a) Quando |Psi(l3)|^2 = 2l sin^2(2pi3) = 2l (raiz32)^2 = 32l :
|Psi(l3)|^2 = 2l sin^2(pi) = 2l cdot 0 = 0
b) Quando :
c) Quando :

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula a uma distância de uma das paredes é:
a) Para :
b) Para :
c) Para :

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