Uma partícula acha-se confinada entre duas paredes rígidas, separadas entre si por uma distância l. Qual é a probabilidade de ser encontrada a uma distância
de uma das paredes (a) quando
, (b) quando
, e © quando
. Considere que a função de onda que descreve este caso é dada por:
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula que está presa entre duas paredes rígidas, separadas por uma distância
. Queremos descobrir a probabilidade de encontrar essa partícula a uma distância de
de uma das paredes para os casos onde
,
e
. Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especialmente a função de onda e a probabilidade associada a ela.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a função de onda dada:
Essa função descreve o estado quântico da partícula dentro da caixa. Para encontrar a probabilidade, precisamos primeiro determinar a constante de normalização
.
Passo 3
A constante de normalização
garante que a partícula esteja em algum lugar dentro da caixa, ou seja, a integral da probabilidade de encontrar a partícula de
a
deve ser igual a 1:
Substituindo a função de onda:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. Sabemos que:
Aplicando isso na nossa integral:
Calculando os limites:
Passo 5
Agora que temos
, podemos escrever a função de onda normalizada:
A probabilidade de encontrar a partícula em uma posição específica
é dada por
.
Passo 6
Vamos calcular
em
:
Passo 7
Agora, vamos calcular para cada valor de
:
a) Quando
:
b) Quando
:
c) Quando
:
Resposta
A probabilidade de encontrar a partícula a uma distância
de uma das paredes é:
a) Para
:
b) Para
:
c) Para
:
Exercícios relacionados
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Um sistema é aquecido de
a
e, em seguida, é comprimido. Se o calor transferido é de 100 J e o trabalho realizado é de 50 J , calcule a variação da energia interna.
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é relacionado com a energia
pela equação relativística. A energia cinética é dada por
. Mostre que o comprimento de onda de de Broglie para uma partícula com energia cinética
e massa de repouso
é dada por:
.