Para uma partícula relativística, a relação de de Broglie continua válida, porém o módulo do momento linear é relacionado com a energia pela equação relativística. A energia cinética é dada por . Mostre que o comprimento de onda de de Broglie para uma partícula com energia cinética e massa de repouso é dada por:
.

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Temos uma partícula relativística, ou seja, uma partícula que se move a velocidades próximas à da luz. A relação de de Broglie conecta o comprimento de onda dessa partícula com seu momento linear . Queremos mostrar que o comprimento de onda de de Broglie para uma partícula com energia cinética e massa de repouso é dado por:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de relatividade restrita, a relação de de Broglie e as fórmulas que relacionam energia, momento e massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a relação de de Broglie, que diz que o comprimento de onda está relacionado ao momento linear pela fórmula:
onde é a constante de Planck.

Passo 3

Agora, precisamos expressar o momento em termos da energia cinética e da massa de repouso da partícula. Na relatividade, a energia total de uma partícula é dada por:
A energia cinética é a diferença entre a energia total e a energia de repouso:

Passo 4

Vamos isolar o momento na equação da energia total. Reescrevendo:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isolando :
Então:

Passo 5

Agora, substituímos pela expressão em termos de . Sabemos que:
Substituindo na expressão de :
Vamos simplificar o termo dentro da raiz.

Passo 6

Expandindo :
Subtraindo :
Portanto:

Passo 7

Agora, substituímos na relação de de Broglie:
Fatorando na expressão dentro da raiz:
Então:

Resposta

O comprimento de onda de de Broglie para a partícula é dado por:

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