Para uma partícula relativística, a relação de de Broglie continua válida, porém o módulo do momento linear p é relacionado com a energia E pela equação relativística. A energia cinética é dada por K=E- m c^2. Mostre que o comprimento de onda de de Broglie para uma partícula com energia cinética K e massa de repouso m é dada por:
lambda=h craizK(K+2 m c^2).

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Temos uma partícula relativística, ou seja, uma partícula que se move a velocidades próximas à da luz. A relação de de Broglie conecta o comprimento de onda lambda dessa partícula com seu momento linear p. Queremos mostrar que o comprimento de onda de de Broglie para uma partícula com energia cinética K e massa de repouso m é dado por:
lambda = h craizK(K + 2 m c^2)
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de relatividade restrita, a relação de de Broglie e as fórmulas que relacionam energia, momento e massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a relação de de Broglie, que diz que o comprimento de onda lambda está relacionado ao momento linear p pela fórmula:
lambda = hp
onde h é a constante de Planck.

Passo 3

Agora, precisamos expressar o momento p em termos da energia cinética K e da massa de repouso m da partícula. Na relatividade, a energia total E de uma partícula é dada por:
E = raiz(p c)^2 + (m c^2)^2
A energia cinética K é a diferença entre a energia total e a energia de repouso:
K = E - m c^2

Passo 4

Vamos isolar o momento p na equação da energia total. Reescrevendo:
E = raiz(p c)^2 + (m c^2)^2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
E^2 = (p c)^2 + (m c^2)^2
Isolando (p c)^2:
(p c)^2 = E^2 - (m c^2)^2
Então:
p = raizE^2 - (m c^2)^2c

Passo 5

Agora, substituímos E pela expressão em termos de K. Sabemos que:
K = E - m c^2 implies E = K + m c^2
Substituindo na expressão de p:
p = raiz(K + m c^2)^2 - (m c^2)^2c
Vamos simplificar o termo dentro da raiz.

Passo 6

Expandindo (K + m c^2)^2:
(K + m c^2)^2 = K^2 + 2 K m c^2 + (m c^2)^2
Subtraindo (m c^2)^2:
(K + m c^2)^2 - (m c^2)^2 = K^2 + 2 K m c^2
Portanto:
p = raizK^2 + 2 K m c^2c

Passo 7

Agora, substituímos p na relação de de Broglie:
lambda = hp = hraizK^2 + 2 K m c^2c = h craizK^2 + 2 K m c^2
Fatorando K na expressão dentro da raiz:
raizK^2 + 2 K m c^2 = raizK(K + 2 m c^2)
Então:
lambda = h craizK(K + 2 m c^2)

Resposta

O comprimento de onda de de Broglie para a partícula é dado por:
lambda = h craizK(K + 2 m c^2)

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