Para uma partícula relativística, a relação de de Broglie continua válida, porém o módulo do momento linear
é relacionado com a energia
pela equação relativística. A energia cinética é dada por
. Mostre que o comprimento de onda de de Broglie para uma partícula com energia cinética
e massa de repouso
é dada por:
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede. Temos uma partícula relativística, ou seja, uma partícula que se move a velocidades próximas à da luz. A relação de de Broglie conecta o comprimento de onda
dessa partícula com seu momento linear
. Queremos mostrar que o comprimento de onda de de Broglie para uma partícula com energia cinética
e massa de repouso
é dado por:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de relatividade restrita, a relação de de Broglie e as fórmulas que relacionam energia, momento e massa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a relação de de Broglie, que diz que o comprimento de onda
está relacionado ao momento linear
pela fórmula:
onde
é a constante de Planck.
Passo 3
Agora, precisamos expressar o momento
em termos da energia cinética
e da massa de repouso
da partícula. Na relatividade, a energia total
de uma partícula é dada por:
A energia cinética
é a diferença entre a energia total e a energia de repouso:
Passo 4
Vamos isolar o momento
na equação da energia total. Reescrevendo:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isolando
:
Então:
Passo 5
Agora, substituímos
pela expressão em termos de
. Sabemos que:
Substituindo na expressão de
:
Vamos simplificar o termo dentro da raiz.
Passo 6
Expandindo
:
Subtraindo
:
Portanto:
Passo 7
Agora, substituímos
na relação de de Broglie:
Fatorando
na expressão dentro da raiz:
Então:
Resposta
O comprimento de onda de de Broglie para a partícula é dado por: