Uma partícula de carga +q gera um campo elétrico de magnitude E0 a uma distância R. Assumindo que esta mesma quantidade de carga é distribuída sobre o volume de uma esfera sólida não condutora e de raio R. Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que uma partícula com carga gera um campo elétrico de magnitude a uma distância . Agora, a gente vai imaginar que essa mesma quantidade de carga está distribuída de forma uniforme dentro de uma esfera sólida não condutora com raio . Nosso objetivo aqui é calcular como o campo elétrico se comporta nessa situação.
Para resolver isso, vamos precisar entender como o campo elétrico é gerado tanto por uma carga pontual quanto por uma distribuição de carga em uma esfera. A gente vai usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos com simetrias específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o campo elétrico gerado por uma carga pontual. A fórmula para o campo elétrico E = 14pivarepsilon0 cdot qr^2 a uma distância E0 = 14pivarepsilon0 cdot qR^2 de uma carga pontual é dada por:
Aqui, é a permissividade do vácuo. No caso do enunciado, temos que a carga gera um campo elétrico a distância , então podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos considerar a carga distribuída uniformemente dentro de uma esfera sólida não condutora de raio . Para encontrar o campo elétrico dentro e fora dessa esfera, vamos usar a Lei de Gauss. Essa lei nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga total dentro dessa superfície.
Vamos analisar duas situações:
  1. Ponto dentro da esfera (a distância é menor que ).
  2. Ponto fora da esfera (a distância é maior que ).

Passo 4

Caso 1: Ponto dentro da esfera ( rho = q43pi R^3 )
Para um ponto dentro da esfera, só a carga dentro de um raio qinterno = rho cdot 43pi r^3 = q cdot ( rR )^3 contribui para o campo elétrico nesse ponto. Como a carga está distribuída uniformemente, a densidade de carga Edentro = 14pivarepsilon0 cdot qinternor^2 = 14pivarepsilon0 cdot q ( rR )^3r^2 = q4pivarepsilon0 R^3 cdot r é:
A carga interna dentro de um raio é:
Agora, aplicando a Lei de Gauss, o campo elétrico dentro da esfera é:
Então, o campo elétrico dentro da esfera aumenta linearmente com a distância .

Passo 5

Caso 2: Ponto fora da esfera ( Efora = 14pivarepsilon0 cdot qr^2 )
Para um ponto fora da esfera, toda a carga está dentro da superfície gaussiana. Portanto, o campo elétrico fora da esfera é semelhante ao de uma carga pontual:
Isso significa que fora da esfera, o campo elétrico diminui com o quadrado da distância, igual ao campo de uma carga pontual.

Resposta

Resumindo, o campo elétrico E = q4pivarepsilon0 R^3 cdot r & para r < R 14pivarepsilon0 cdot qr^2 & para r >= R gerado pela distribuição uniforme de carga em uma esfera sólida de raio é dado por:
Ou seja, dentro da esfera, o campo elétrico cresce linearmente com a distância, e fora da esfera, ele se comporta como o campo de uma carga pontual, diminuindo com o quadrado da distância.

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