Uma partícula de carga
gera um campo elétrico de magnitude
a uma distância
. Assumindo que esta mesma quantidade de carga é distribuída sobre o volume de uma esfera sólida não condutora e de raio
. Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que uma partícula com carga
gera um campo elétrico de magnitude
a uma distância
. Agora, a gente vai imaginar que essa mesma quantidade de carga
está distribuída de forma uniforme dentro de uma esfera sólida não condutora com raio
. Nosso objetivo aqui é calcular como o campo elétrico se comporta nessa situação.
Para resolver isso, vamos precisar entender como o campo elétrico é gerado tanto por uma carga pontual quanto por uma distribuição de carga em uma esfera. A gente vai usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos com simetrias específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o campo elétrico gerado por uma carga pontual. A fórmula para o campo elétrico
a uma distância
de uma carga pontual
é dada por:
Aqui,
é a permissividade do vácuo. No caso do enunciado, temos que a carga
gera um campo elétrico
a distância
, então podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos considerar a carga
distribuída uniformemente dentro de uma esfera sólida não condutora de raio
. Para encontrar o campo elétrico dentro e fora dessa esfera, vamos usar a Lei de Gauss. Essa lei nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga total dentro dessa superfície.
Vamos analisar duas situações:
- Ponto dentro da esfera (a distância
é menor que ). - Ponto fora da esfera (a distância
é maior que ).
Passo 4
Caso 1: Ponto dentro da esfera (
)
Para um ponto dentro da esfera, só a carga dentro de um raio
contribui para o campo elétrico nesse ponto. Como a carga está distribuída uniformemente, a densidade de carga
é:
A carga interna
dentro de um raio
é:
Agora, aplicando a Lei de Gauss, o campo elétrico dentro da esfera é:
Então, o campo elétrico dentro da esfera aumenta linearmente com a distância
.
Passo 5
Caso 2: Ponto fora da esfera (
)
Para um ponto fora da esfera, toda a carga
está dentro da superfície gaussiana. Portanto, o campo elétrico fora da esfera é semelhante ao de uma carga pontual:
Isso significa que fora da esfera, o campo elétrico diminui com o quadrado da distância, igual ao campo de uma carga pontual.
Resposta
Resumindo, o campo elétrico
gerado pela distribuição uniforme de carga
em uma esfera sólida de raio
é dado por:
Ou seja, dentro da esfera, o campo elétrico cresce linearmente com a distância, e fora da esfera, ele se comporta como o campo de uma carga pontual, diminuindo com o quadrado da distância.