Calcule o campo elétrico em função de r para r e r>R para uma densidade de carga volumétrica rho0 constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o campo elétrico em função da distância a partir do centro de uma distribuição de carga. A questão pede para fazer isso nos casos onde (dentro da esfera) e (fora da esfera), sabendo que a densidade de carga volumétrica é constante. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss da eletrostática, que é super útil para problemas com simetria como esse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total PhiE = oint E cdot dA = Qtotalvarepsilon0 através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante :
Como a distribuição de carga é simétrica e a densidade é constante, podemos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio centrada na mesma posição da carga.

Passo 3

Vamos calcular Qtotal = rho0 cdot 43pi r^3 para os dois casos: Qtotal = rho0 cdot 43pi R^3 e .
  • Para : A carga dentro da superfície gaussiana é apenas a carga no volume interno de raio :
  • Para : Toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana, então:

Passo 4

Agora, usando a Lei de Gauss, sabemos que o fluxo elétrico PhiE = E cdot 4pi r^2 é também:
E cdot 4pi r^2 = rho0 cdot 43pi r^3varepsilon0
Igualando as duas expressões para E = rho0 r3varepsilon0 , temos:
  • Para E cdot 4pi r^2 = rho0 cdot 43pi R^3varepsilon0 :
E = rho0 R^33varepsilon0 r^2
Resolvendo para :
  • Para :
Resolvendo para :

Resposta

O campo elétrico E(r) = rho0 r3,varepsilon0 & se r < R rho0 R^33,varepsilon0 r^2 & se r > R é dado por:

Exercícios relacionados