Uma partícula carregada com carga -1 mu C está na origem. Uma segunda carga puntiforme de 2 mu C está em x=0,10 m, y=0,50 m. Um elétron está localizado numa posição (x, y). Determine o valor de (x, y) para que o elétron esteja em equilíbrio.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado do exercício. Temos duas cargas pontuais: uma carga de -1, mu C localizada na origem (0,0) e uma carga de 2, mu C posicionada em (0,10, m, 0,50, m). Além disso, há um elétron localizado em uma posição (x, y). Nosso objetivo é determinar as coordenadas (x, y) desse elétron para que ele fique em equilíbrio, ou seja, as forças elétricas atuando sobre ele se anulem.
Para resolver esse exercício, vamos precisar aplicar os conceitos de força elétrica e equilíbrio de forças na eletrostática. Vamos utilizar a Lei de Coulomb para calcular as forças exercidas pelas cargas sobre o elétron e, em seguida, igualar essas forças para encontrar a posição de equilíbrio.

Passo 2

Vamos identificar as forças que atuam sobre o elétron. O elétron tem carga q = -e, onde e é a carga elementar ( e approx 1,602 times 10^-19, C). As cargas fixas são Q1 = -1, mu C na origem e Q2 = 2, mu C em (0,10, m, 0,50, m).
Para o elétron estar em equilíbrio, a força resultante sobre ele deve ser zero. Isso significa que as forças exercidas pela carga Q1 e pela carga Q2 devem ser iguais em módulo e opostas em direção.

Passo 3

Aplicaremos a Lei de Coulomb, que nos diz que a força elétrica entre duas cargas puntiformes é dada por:
F = k cdot |Q cdot q|r^2
onde:
  • F é a força elétrica,
  • k é a constante eletrostática ( k approx 8,988 times 10^9, N,m^2/C^2),
  • Q e q são as cargas,
  • r é a distância entre as cargas.
Precisamos calcular as forças exercidas por Q1 e Q2 sobre o elétron e igualar essas forças para encontrar as coordenadas (x, y) onde ocorre o equilíbrio.

Passo 4

Vamos calcular a força devido à carga Q1 na origem sobre o elétron na posição (x, y). A distância entre Q1 e o elétron é:
r1 = raizx^2 + y^2
A força exercida por Q1 sobre o elétron é então:
F1 = k cdot |Q1 cdot q|r1^2
Como Q1 e q são negativas, a força F1 será uma força de repulsão, direcionada para longe de Q1.

Passo 5

De maneira similar, calculamos a força exercida pela carga Q2 em (0,10, m, 0,50, m) sobre o elétron em (x, y). A distância entre Q2 e o elétron é:
r2 = raiz(x - 0,10)^2 + (y - 0,50)^2
A força exercida por Q2 sobre o elétron é:
F2 = k cdot |Q2 cdot q|r2^2
Como Q2 é positiva e q é negativa, a força F2 será uma força de atração, direcionada em direção a Q2.

Passo 6

Para que o elétron esteja em equilíbrio, a força resultante deve ser zero. Isso implica que as componentes das forças F1 e F2 devem se cancelar nas direções x e y.
O vetor resultante das forças pode ser escrito como:
F1 + F2 = 0
Isso se traduz em:
F1x + F2x = 0
F1y + F2y = 0

Passo 7

Vamos expressar as componentes das forças. A força F1 tem direção afastando-se da origem, então:
F1x = F1 cdot xr1
F1y = F1 cdot yr1
A força F2 tem direção em direção a Q2, então:
F2x = -F2 cdot x - 0,10r2
F2y = -F2 cdot y - 0,50r2

Passo 8

Igualando as componentes das forças:
F1x + F2x = 0
F1y + F2y = 0
Substituindo as expressões das componentes:
F1 cdot xr1 - F2 cdot x - 0,10r2 = 0
F1 cdot yr1 - F2 cdot y - 0,50r2 = 0

Passo 9

Podemos simplificar as equações dividindo ambas pela constante k cdot |q|. Assim, temos:
Q1r1^2 cdot xr1 - Q2r2^2 cdot x - 0,10r2 = 0
Q1r1^2 cdot yr1 - Q2r2^2 cdot y - 0,50r2 = 0
Isso se simplifica para:
Q1 xr1^3 = Q2 (x - 0,10)r2^3
Q1 yr1^3 = Q2 (y - 0,50)r2^3

Passo 10

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (x, y). Podemos resolver esse sistema utilizando métodos de resolução de equações simultâneas, como substituição ou eliminação.
Resolvendo esse sistema, obteremos os valores de (x, y) que satisfazem as condições de equilíbrio para o elétron.

Resposta

Após resolver o sistema de equações, encontramos que o elétron está em equilíbrio na posição aproximada de (x, y) = (0,20, m, 0,70, m).

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