Uma partícula carregada com carga
está na origem. Uma segunda carga puntiforme de
está em
. Um elétron está localizado numa posição
. Determine o valor de
para que o elétron esteja em equilíbrio.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o enunciado do exercício. Temos duas cargas pontuais: uma carga de
localizada na origem
e uma carga de
posicionada em
. Além disso, há um elétron localizado em uma posição
. Nosso objetivo é determinar as coordenadas
desse elétron para que ele fique em equilíbrio, ou seja, as forças elétricas atuando sobre ele se anulem.
Para resolver esse exercício, vamos precisar aplicar os conceitos de força elétrica e equilíbrio de forças na eletrostática. Vamos utilizar a Lei de Coulomb para calcular as forças exercidas pelas cargas sobre o elétron e, em seguida, igualar essas forças para encontrar a posição de equilíbrio.
Passo 2
Vamos identificar as forças que atuam sobre o elétron. O elétron tem carga
, onde
é a carga elementar (
). As cargas fixas são
na origem e
em
.
Para o elétron estar em equilíbrio, a força resultante sobre ele deve ser zero. Isso significa que as forças exercidas pela carga
e pela carga
devem ser iguais em módulo e opostas em direção.
Passo 3
Aplicaremos a Lei de Coulomb, que nos diz que a força elétrica entre duas cargas puntiformes é dada por:
onde:
-
é a força elétrica, -
é a constante eletrostática ( ), -
e são as cargas, -
é a distância entre as cargas.
Precisamos calcular as forças exercidas por
e
sobre o elétron e igualar essas forças para encontrar as coordenadas
onde ocorre o equilíbrio.
Passo 4
Vamos calcular a força devido à carga
na origem sobre o elétron na posição
. A distância entre
e o elétron é:
A força exercida por
sobre o elétron é então:
Como
e
são negativas, a força
será uma força de repulsão, direcionada para longe de
.
Passo 5
De maneira similar, calculamos a força exercida pela carga
em
sobre o elétron em
. A distância entre
e o elétron é:
A força exercida por
sobre o elétron é:
Como
é positiva e
é negativa, a força
será uma força de atração, direcionada em direção a
.
Passo 6
Para que o elétron esteja em equilíbrio, a força resultante deve ser zero. Isso implica que as componentes das forças
e
devem se cancelar nas direções x e y.
O vetor resultante das forças pode ser escrito como:
Isso se traduz em:
Passo 7
Vamos expressar as componentes das forças. A força
tem direção afastando-se da origem, então:
A força
tem direção em direção a
, então:
Passo 8
Igualando as componentes das forças:
Substituindo as expressões das componentes:
Passo 9
Podemos simplificar as equações dividindo ambas pela constante
. Assim, temos:
Isso se simplifica para:
Passo 10
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas
. Podemos resolver esse sistema utilizando métodos de resolução de equações simultâneas, como substituição ou eliminação.
Resolvendo esse sistema, obteremos os valores de
que satisfazem as condições de equilíbrio para o elétron.
Resposta
Após resolver o sistema de equações, encontramos que o elétron está em equilíbrio na posição aproximada de
.