Em 1895, Paschen propôs para a função
a forma
onde
e
são constantes e
. Mostre que, a menos que
, esta lei de Paschen é irreconciliável com a lei de Stefan-Boltzmann.
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre a função proposta por Paschen em 1895 para descrever a emissão de energia em relação ao comprimento de onda
e à temperatura
. A função é dada por:
onde
e
são constantes, e
. Nosso objetivo é mostrar que, a menos que
, essa lei de Paschen não é compatível com a lei de Stefan-Boltzmann. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre emissividade total e integrar a função de Paschen sobre todos os comprimentos de onda para comparar com a lei de Stefan-Boltzmann.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a lei de Stefan-Boltzmann. Ela diz que a potência total emitida por um corpo negro é proporcional à quarta potência da temperatura:
onde
é a constante de Stefan-Boltzmann. Agora, vamos calcular a potência total emitida segundo a lei de Paschen, integrando a função
sobre todos os comprimentos de onda
.
Passo 3
A potência total segundo Paschen é dada por:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma mudança de variável que simplifica a expressão. Vamos deixar
, o que implica que
e
. Substituindo na integral:
Passo 4
Simplificando a expressão:
A integral que ficou é uma forma da função gama (
):
No nosso caso,
, então a integral é
.
Passo 5
Substituindo de volta, temos:
Então, a potência total segundo Paschen depende de
.
Passo 6
Agora, vamos comparar com a lei de Stefan-Boltzmann, que diz que
. Para que as duas leis sejam compatíveis, as dependências em
devem ser iguais. Ou seja, precisamos que:
No entanto, a constant
proposta por Paschen é aproximadamente 5,66. A menos que
seja exatamente 4, as duas leis não concordam. Mas o enunciado pede que a compatibilidade ocorra quando
, então há um ajuste na interpretação.
Passo 7
Revisando os cálculos, percebemos que na mudança de variável e na simplificação, a potência total se relaciona com
. Portanto, para que
, necessitamos que:
Resposta
Portanto, a lei de Paschen só é compatível com a lei de Stefan-Boltzmann se
. Como Paschen propôs
, essa lei é irreconciliável com a lei de Stefan-Boltzmann a menos que
seja igual a 5.