Uma partícula se desloca ao longo de uma linha reta de tal modo que sua posição é dada por:
x=x0+v0 t+b t^2+c t^3
Onde xo é o espaço inicial, vo a velocidade inicial e as constantes b e c possuem as dimensões necessárias para que a equação fique dimensionalmente correta.
Admitindo que todas as grandezas são dadas no SI, determine:
a) a expressão para a velocidade em t=1 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a posição de uma partícula dada por . Aqui, é a posição inicial, é a velocidade inicial, e e são constantes que ajustam a fórmula para ficar certinha nas unidades. A gente quer descobrir a velocidade da partícula no tempo segundo. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que na física ajuda a encontrar a velocidade a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja,
v(t) = dxdt
Vou derivar cada termo da expressão de v(t) = v0 + 2b t + 3c t^2 :
  • A derivada de (constante) é 0.
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então, juntando tudo,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade no tempo v(1) = v0 + 2b (1) + 3c (1)^2 segundo. Substituímos v(1) = v0 + 2b + 3c por 1 na expressão que achamos:
Simplificando,

Resposta

A velocidade da partícula em v(1) = v0 + 2b + 3c segundo é dada por:

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