Uma partícula se desloca ao longo de uma linha reta de tal modo que sua posição é dada por:
x=x0+v0 t+b t^2+c t^3
Onde xo é o espaço inicial, vo a velocidade inicial e as constantes b e c possuem as dimensões necessárias para que a equação fique dimensionalmente correta.
Admitindo que todas as grandezas são dadas no SI, determine:
b) a expressão para a aceleração em t=1 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula que se move em linha reta com a posição dada pela equação:
x = x0 + v0 t + b t^2 + c t^3
Estamos no campo da cinemática, que estuda o movimento dos corpos sem se preocupar com as causas desse movimento. Para resolver essa parte do exercício, precisamos encontrar a aceleração da partícula no instante de tempo segundo. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a posição x = x0 + v0 t + b t^2 + c t^3 de um objeto em movimento é uma função do tempo. Na nossa equação:
  • é a posição inicial,
  • é a velocidade inicial,
  • e são constantes que ajustam a forma da trajetória.

Passo 3

Para encontrar a velocidade v(t) = dxdt , precisamos derivar a posição em relação ao tempo. A derivada da posição nos dá a velocidade:
v(t) = v0 + 2b t + 3c t^2
Vamos derivar cada termo da equação de :
  • A derivada de em relação a é 0, porque é constante.
  • A derivada de é .
  • A derivada de é (usamos a regra do poder: trazer o expoente para a frente e diminuir o expoente em 1).
  • A derivada de é .
Então, a velocidade fica:

Passo 4

Agora, para encontrar a aceleração a(t) = dvdt , precisamos derivar a velocidade em relação ao tempo. A derivada da velocidade nos dá a aceleração:
a(t) = 2b + 6c t
Vamos derivar cada termo da equação de :
  • A derivada de em relação a é 0, porque é constante.
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então, a aceleração fica:

Passo 5

Finalmente, queremos saber a aceleração no instante a(1) = 2b + 6c (1) = 2b + 6c segundo. Basta substituir na expressão da aceleração:

Resposta

A aceleração em a(1) = 2b + 6c segundo é:

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