Uma partícula se desloca ao longo de uma linha reta de tal modo que sua posição é dada por:
Onde xo é o espaço inicial, vo a velocidade inicial e as constantes b e c possuem as dimensões necessárias para que a equação fique dimensionalmente correta.
Admitindo que todas as grandezas são dadas no SI, determine:
b) a expressão para a aceleração em
.
Admitindo que todas as grandezas são dadas no SI, determine:
b) a expressão para a aceleração em
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula que se move em linha reta com a posição dada pela equação:
Estamos no campo da cinemática, que estuda o movimento dos corpos sem se preocupar com as causas desse movimento. Para resolver essa parte do exercício, precisamos encontrar a aceleração da partícula no instante de tempo
segundo. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a posição
de um objeto em movimento é uma função do tempo. Na nossa equação:
-
é a posição inicial, -
é a velocidade inicial, -
e são constantes que ajustam a forma da trajetória.
Passo 3
Para encontrar a velocidade
, precisamos derivar a posição em relação ao tempo. A derivada da posição nos dá a velocidade:
Vamos derivar cada termo da equação de
:
- A derivada de
em relação a é 0, porque é constante. - A derivada de
é . - A derivada de
é (usamos a regra do poder: trazer o expoente para a frente e diminuir o expoente em 1). - A derivada de
é .
Então, a velocidade fica:
Passo 4
Agora, para encontrar a aceleração
, precisamos derivar a velocidade em relação ao tempo. A derivada da velocidade nos dá a aceleração:
Vamos derivar cada termo da equação de
:
- A derivada de
em relação a é 0, porque é constante. - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, a aceleração fica:
Passo 5
Finalmente, queremos saber a aceleração no instante
segundo. Basta substituir
na expressão da aceleração:
Resposta
A aceleração em
segundo é: