Uma particula desloca-se sobre o eixo X e sabe-se que no instante ,t>0 a velocidade é V(t)=2t+1.Sabe-se, ainda, que no instante t=0 a particula encontra-se na posição x=1.Determine a posição x=x(t) da paticula no instante t.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma partícula que se move no eixo X. A velocidade dela em qualquer instante t é dada por $ V(t) = 2t + 1 $. Além disso, sabemos que quando $ t = 0 $, a posição da partícula é $ x = 1 $. Nosso objetivo é descobrir a posição $ x(t) $ da partícula em qualquer instante t. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração, porque a velocidade é a derivada da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Isso significa que:
Então, para encontrar a posição $ x(t) $, precisamos “desfazer” essa derivada, ou seja, integrar a velocidade em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos integrar a expressão da velocidade:
Fazendo a integral, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 4
Sabemos que quando $ t = 0 $, a posição $ x = 1 $. Vamos usar isso para encontrar $ C $:
Então, a constante de integração $ C $ é igual a 1.
Passo 5
Agora que já temos $ C = 1 $, podemos escrever a expressão final para a posição:
Resposta
A posição da partícula no instante t é dada por: