Uma particula desloca-se sobre o eixo X e sabe-se que no instante ,t>0 a velocidade é V(t)=2t+1.Sabe-se, ainda, que no instante t=0 a particula encontra-se na posição x=1.Determine a posição x=x(t) da paticula no instante t.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma partícula que se move no eixo X. A velocidade dela em qualquer instante t é dada por $ V(t) = 2t + 1 $. Além disso, sabemos que quando $ t = 0 $, a posição da partícula é $ x = 1 $. Nosso objetivo é descobrir a posição $ x(t) $ da partícula em qualquer instante t. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração, porque a velocidade é a derivada da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Isso significa que:
V(t) = dxdt
Então, para encontrar a posição $ x(t) $, precisamos “desfazer” essa derivada, ou seja, integrar a velocidade em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos integrar a expressão da velocidade:
x(t) = integral V(t) , dt = integral (2t + 1) , dt
Fazendo a integral, temos:
x(t) = integral 2t , dt + integral 1 , dt
x(t) = 2 cdot t^22 + t + C
x(t) = t^2 + t + C
Onde $ C $ é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Sabemos que quando $ t = 0 $, a posição $ x = 1 $. Vamos usar isso para encontrar $ C $:
t = 0
x = 1
Então, a constante de integração $ C $ é igual a 1.

Passo 5

Agora que já temos $ C = 1 $, podemos escrever a expressão final para a posição:
C = 1

Resposta

A posição da partícula no instante t é dada por:
x(t) = t^2 + t + 1

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