Suponha que temos uma função h(x) definida por partes, onde a expressão varia dependendo do intervalo de x. A função é definida da seguinte forma: h ( x ) = { 2 e x , [ − 4 , 0 ) x 2 − 4 x 2 , [ 0 , 4 ). Quantos pontos extremos locais a função apresenta?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos uma função $ h(x) $ que é definida por partes, ou seja, sua expressão muda dependendo do intervalo de $ x $. A função é dada por:
h(x)
O nosso objetivo é descobrir quantos pontos extremos locais essa função possui. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e análise de funções por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente para identificar possíveis extremos locais. Um ponto extremo local pode ser um máximo ou mínimo local, que geralmente ocorre onde a derivada da função é zero ou não existe.

Passo 3

Para o intervalo [-4, 0):
A função é $ h(x) = 2e^{x} $.
Vamos calcular a derivada de $ h(x) $:
h(x) = 2e^x
Como $ e^{x} $ é sempre positivo, $ h’(x) = 2e^{x} > 0 $ para todo $ x $ nesse intervalo. Isso significa que a função está sempre aumentando nesse intervalo e, portanto, não possui pontos extremos locais aqui.

Passo 4

Para o intervalo [0, 4):
A função é $ h(x) = -3x^{2} $.
Vamos calcular a derivada de $ h(x) $:
h(x) = -3x^2
Agora, vamos encontrar onde a derivada é zero:
h(x)
O ponto $ x = 0 $ está no limite entre os dois intervalos da função. Precisamos verificar o comportamento da função nesse ponto.

Passo 5

Vamos analisar o que acontece em $ x = 0 $:
  • À esquerda de 0 ($ x $ se aproximando de 0 pelo lado negativo):
x = 0
  • À direita de 0 ($ x $ se aproximando de 0 pelo lado positivo):
x
Aqui, vemos que a função pula de 2 para 0 em $ x = 0 $. Além disso, para $ x > 0 $, a derivada $ h’(x) = -6x $ é negativa, indicando que a função está decrescendo.

Passo 6

Com base nisso, em $ x = 0 $:
  • A função passa de crescente para decrescente.
  • Mesmo que a derivada não seja zero dentro de um intervalo aberto, no ponto de transição entre as duas partes da função, podemos ter um ponto extremo.
Portanto, $ x = 0 $ é um ponto de máximo local, já que a função atinge um valor máximo ali antes de começar a decrescer.

Resposta

A função apresenta um ponto extremo local, que é um máximo em $ x = 0 $.

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