Suponha que temos uma função h(x) definida por partes, onde a expressão varia dependendo do intervalo de x. A função é definida da seguinte forma: h ( x ) = { 2 e x , [ − 4 , 0 ) x 2 − 4 x 2 , [ 0 , 4 ). Quantos pontos extremos locais a função apresenta?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos uma função $ h(x) $ que é definida por partes, ou seja, sua expressão muda dependendo do intervalo de $ x $. A função é dada por:
O nosso objetivo é descobrir quantos pontos extremos locais essa função possui. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e análise de funções por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente para identificar possíveis extremos locais. Um ponto extremo local pode ser um máximo ou mínimo local, que geralmente ocorre onde a derivada da função é zero ou não existe.
Passo 3
Para o intervalo
:
A função é $ h(x) = 2e^{x} $.
Vamos calcular a derivada de $ h(x) $:
Como $ e^{x} $ é sempre positivo, $ h’(x) = 2e^{x} > 0 $ para todo $ x $ nesse intervalo. Isso significa que a função está sempre aumentando nesse intervalo e, portanto, não possui pontos extremos locais aqui.
Passo 4
Para o intervalo
:
A função é $ h(x) = -3x^{2} $.
Vamos calcular a derivada de $ h(x) $:
Agora, vamos encontrar onde a derivada é zero:
O ponto $ x = 0 $ está no limite entre os dois intervalos da função. Precisamos verificar o comportamento da função nesse ponto.
Passo 5
Vamos analisar o que acontece em $ x = 0 $:
- À esquerda de 0 ($ x $ se aproximando de 0 pelo lado negativo):
- À direita de 0 ($ x $ se aproximando de 0 pelo lado positivo):
Aqui, vemos que a função pula de 2 para 0 em $ x = 0 $. Além disso, para $ x > 0 $, a derivada $ h’(x) = -6x $ é negativa, indicando que a função está decrescendo.
Passo 6
Com base nisso, em $ x = 0 $:
- A função passa de crescente para decrescente.
- Mesmo que a derivada não seja zero dentro de um intervalo aberto, no ponto de transição entre as duas partes da função, podemos ter um ponto extremo.
Portanto, $ x = 0 $ é um ponto de máximo local, já que a função atinge um valor máximo ali antes de começar a decrescer.
Resposta
A função apresenta um ponto extremo local, que é um máximo em $ x = 0 $.