Uma partícula gira no sentido anti-horário em um círculo de raio igual a com velocidade angular constante de . Em , a partícula tem uma coordenada de .
(a) Determine a coordenada em função do tempo.
(b) Encontre os componentes da velocidade da partícula e aceleração em qualquer tempo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que está girando em um círculo com raio de e velocidade angular constante de . No tempo , a coordenada da partícula é . A matéria envolvida aqui é o movimento circular uniforme, onde usamos conceitos de trigonometria e cálculo para descrever a posição, velocidade e aceleração da partícula ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): determinar a coordenada em função do tempo. Sabemos que no movimento circular uniforme, a posição pode ser descrita pela função:
Onde:
  • é o raio do círculo,
  • é a velocidade angular,
  • é a fase inicial.

Passo 3

No nosso caso, temos e . Também sabemos que no tempo , . Vamos usar essa informação para encontrar .
Substituindo na equação de :

Passo 4

Agora, vamos resolver para :
Portanto, a função fica:

Passo 5

Simplificando, podemos deixar a função em termos de e a fase inicial:

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): encontrar os componentes da velocidade e da aceleração da partícula em qualquer tempo .
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:

Passo 7

Calculando a derivada de :

Passo 8

Já a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição:

Passo 9

Calculando a derivada de :

Resposta

(a) A coordenada em função do tempo é:
(b) Os componentes da velocidade e aceleração em qualquer tempo são:

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