Uma partícula gira no sentido anti-horário em um círculo de raio igual a 3,0 m com velocidade angular constante de 8,0 rad / s. Em t=0, a partícula tem uma coordenada x de 2,0 m.
(a) Determine a coordenada x em função do tempo.
(b) Encontre os componentes x da velocidade da partícula e aceleração em qualquer tempo t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que está girando em um círculo com raio de e velocidade angular constante de . No tempo , a coordenada da partícula é . A matéria envolvida aqui é o movimento circular uniforme, onde usamos conceitos de trigonometria e cálculo para descrever a posição, velocidade e aceleração da partícula ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): determinar a coordenada x(t) = R cos(omega t + phi) em função do tempo. Sabemos que no movimento circular uniforme, a posição pode ser descrita pela função:
Onde:
  • é o raio do círculo,
  • é a velocidade angular,
  • é a fase inicial.

Passo 3

No nosso caso, temos 2,0 = 3,0 cos(phi) e . Também sabemos que no tempo , . Vamos usar essa informação para encontrar .
Substituindo na equação de :

Passo 4

Agora, vamos resolver para cos(phi) = 2,03,0 Rightarrow phi = cos^-1(23) :
x(t) = 3,0 cos(8,0 , t + cos^-1(23))
Portanto, a função fica:

Passo 5

Simplificando, podemos deixar a função x(t) = 3,0 cos(8,0 t + cos^-1(2/3)) em termos de e a fase inicial:

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): encontrar os componentes v(t) = dxdt da velocidade e da aceleração da partícula em qualquer tempo .
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:

Passo 7

Calculando a derivada de v(t) = -3,0 cdot 8,0 sin(8,0 t + cos^-1(2/3)) = -24,0 sin(8,0 t + cos^-1(2/3)) :

Passo 8

Já a aceleração a(t) = dvdt = d^2xdt^2 é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição:

Passo 9

Calculando a derivada de a(t) = -24,0 cdot 8,0 cos(8,0 t + cos^-1(2/3)) = -192,0 cos(8,0 t + cos^-1(2/3)) :

Resposta

(a) A coordenada x(t) = 3,0 cos(8,0 , t + cos^-1(23)) , m em função do tempo é:
v(t) = -24,0 sin(8,0 , t + cos^-1(23)) , m/s
(b) Os componentes a(t) = -192,0 cos(8,0 , t + cos^-1(23)) , m/s^2 da velocidade e aceleração em qualquer tempo são:

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