Uma partícula gira no sentido anti-horário em um círculo de raio igual a
com velocidade angular constante de
. Em
, a partícula tem uma coordenada
de
.
(a) Determine a coordenada
em função do tempo.
(b) Encontre os componentes
da velocidade da partícula e aceleração em qualquer tempo
.
(a) Determine a coordenada
(b) Encontre os componentes
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que está girando em um círculo com raio de
e velocidade angular constante de
. No tempo
, a coordenada
da partícula é
. A matéria envolvida aqui é o movimento circular uniforme, onde usamos conceitos de trigonometria e cálculo para descrever a posição, velocidade e aceleração da partícula ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a): determinar a coordenada
em função do tempo. Sabemos que no movimento circular uniforme, a posição
pode ser descrita pela função:
Onde:
-
é o raio do círculo, -
é a velocidade angular, -
é a fase inicial.
Passo 3
No nosso caso, temos
e
. Também sabemos que no tempo
,
. Vamos usar essa informação para encontrar
.
Substituindo
na equação de
:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Portanto, a função
fica:
Passo 5
Simplificando, podemos deixar a função
em termos de
e a fase inicial:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b): encontrar os componentes
da velocidade e da aceleração da partícula em qualquer tempo
.
A velocidade
é a derivada da posição
em relação ao tempo:
Passo 7
Calculando a derivada de
:
Passo 8
Já a aceleração
é a derivada da velocidade
em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição:
Passo 9
Calculando a derivada de
:
Resposta
(a) A coordenada
em função do tempo é:
(b) Os componentes
da velocidade e aceleração em qualquer tempo
são:
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