Uma partícula de se move no plano xy de acordo com as equações e , com x e y em metros e t em segundos. No instante , quais são (a) o módulo e (b) o ângulo (em relação ao semieixo x positivo) da força resultante a que está submetida a partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula de massa que se move no plano xy, com as posições dadas por:
Queremos descobrir, no instante , o módulo e o ângulo da força resultante que age sobre a partícula. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração: . Precisamos, então, encontrar a aceleração da partícula nesse instante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as componentes da aceleração . Como a posição é dada em função do tempo, a gente precisa derivar e duas vezes para chegar na aceleração.
Vamos começar derivando e em relação a para encontrar a velocidade, e depois derivar novamente para a aceleração.

Passo 3

Calculando a primeira derivada de para encontrar a velocidade em x:
Agora, a segunda derivada para a aceleração em x:

Passo 4

Fazendo o mesmo para :
Primeira derivada para a velocidade em y:
Segunda derivada para a aceleração em y:

Passo 5

Agora, substituímos nas expressões das acelerações:
Para :
Para :

Passo 6

Com as componentes da aceleração, vamos aplicar a segunda lei de Newton para encontrar as componentes da força:

Passo 7

Agora, para encontrar o módulo da força resultante, usamos a fórmula da magnitude do vetor força:

Passo 8

Para achar o ângulo que a força faz com o semieixo x positivo, usamos a função tangente:
Como tanto quanto são negativos, a força está no terceiro quadrante, então o ângulo em relação ao semieixo x positivo é:

Resposta

(a) O módulo da força resultante é aproximadamente .
(b) O ângulo da força em relação ao semieixo x positivo é de aproximadamente .

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