Uma partícula de
se move no plano xy de acordo com as equações
e
, com x e y em metros e t em segundos. No instante
, quais são (a) o módulo e (b) o ângulo (em relação ao semieixo x positivo) da força resultante a que está submetida a partícula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula de massa
que se move no plano xy, com as posições dadas por:
Queremos descobrir, no instante
, o módulo e o ângulo da força resultante que age sobre a partícula. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração:
. Precisamos, então, encontrar a aceleração da partícula nesse instante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as componentes da aceleração
. Como a posição é dada em função do tempo, a gente precisa derivar
e
duas vezes para chegar na aceleração.
Vamos começar derivando
e
em relação a
para encontrar a velocidade, e depois derivar novamente para a aceleração.
Passo 3
Calculando a primeira derivada de
para encontrar a velocidade em x:
Agora, a segunda derivada para a aceleração em x:
Passo 4
Fazendo o mesmo para
:
Primeira derivada para a velocidade em y:
Segunda derivada para a aceleração em y:
Passo 5
Agora, substituímos
nas expressões das acelerações:
Para
:
Para
:
Passo 6
Com as componentes da aceleração, vamos aplicar a segunda lei de Newton para encontrar as componentes da força:
Passo 7
Agora, para encontrar o módulo da força resultante, usamos a fórmula da magnitude do vetor força:
Passo 8
Para achar o ângulo que a força faz com o semieixo x positivo, usamos a função tangente:
Como tanto
quanto
são negativos, a força está no terceiro quadrante, então o ângulo em relação ao semieixo x positivo é:
Resposta
(a) O módulo da força resultante é aproximadamente
.
(b) O ângulo da força em relação ao semieixo x positivo é de aproximadamente
.
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