Uma partícula de 0,3 kg se move no plano xy de acordo com as equações x(t)=-15+2 t-4 t^3 e y(t)=25+7 t-9 t^2, com x e y em metros e t em segundos. No instante t=0,7 s, quais são (a) o módulo e (b) o ângulo (em relação ao semieixo x positivo) da força resultante a que está submetida a partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula de massa 0,3,kg que se move no plano xy, com as posições dadas por:
x(t) = -15 + 2t - 4t^3
y(t) = 25 + 7t - 9t^2
Queremos descobrir, no instante t = 0,7,s, o módulo e o ângulo da força resultante que age sobre a partícula. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração: F = ma. Precisamos, então, encontrar a aceleração da partícula nesse instante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as componentes da aceleração a. Como a posição é dada em função do tempo, a gente precisa derivar x(t) e y(t) duas vezes para chegar na aceleração.
Vamos começar derivando x(t) e y(t) em relação a t para encontrar a velocidade, e depois derivar novamente para a aceleração.

Passo 3

Calculando a primeira derivada de x(t) para encontrar a velocidade em x:
vx(t) = dxdt = ddt(-15 + 2t - 4t^3) = 2 - 12t^2
Agora, a segunda derivada para a aceleração em x:
ax(t) = d^2xdt^2 = ddt(2 - 12t^2) = -24t

Passo 4

Fazendo o mesmo para y(t):
Primeira derivada para a velocidade em y:
vy(t) = dydt = ddt(25 + 7t - 9t^2) = 7 - 18t
Segunda derivada para a aceleração em y:
ay(t) = d^2ydt^2 = ddt(7 - 18t) = -18

Passo 5

Agora, substituímos t = 0,7,s nas expressões das acelerações:
Para ax:
ax(0,7) = -24 times 0,7 = -16,8,m/s^2
Para ay:
ay(0,7) = -18,m/s^2

Passo 6

Com as componentes da aceleração, vamos aplicar a segunda lei de Newton para encontrar as componentes da força:
Fx = m times ax = 0,3 times (-16,8) = -5,04,N
Fy = m times ay = 0,3 times (-18) = -5,4,N

Passo 7

Agora, para encontrar o módulo da força resultante, usamos a fórmula da magnitude do vetor força:
|F| = raizFx^2 + Fy^2 = raiz(-5,04)^2 + (-5,4)^2 = raiz25,4016 + 29,16 = raiz54,5616 approx 7,38,N

Passo 8

Para achar o ângulo que a força faz com o semieixo x positivo, usamos a função tangente:
theta = arctan(FyFx) = arctan(-5,4-5,04) approx arctan(1,0714) approx 47,5^circ
Como tanto Fx quanto Fy são negativos, a força está no terceiro quadrante, então o ângulo em relação ao semieixo x positivo é:
theta = 180^circ + 47,5^circ = 227,5^circ

Resposta

(a) O módulo da força resultante é aproximadamente 7,38,N.
(b) O ângulo da força em relação ao semieixo x positivo é de aproximadamente 227,5^circ.

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