Uma força de 12 N e orientação fixa realiza trabalho sobre uma partícula que sofre um deslocamento d = 2 i+3 k m. Qual é o ângulo entre a força e o deslocamento se a variação da energia cinética da partícula é (a) +30,0 J e (b) -30,0 J?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma força de 12 N que faz trabalho sobre uma partícula que se move com um deslocamento dado por metros. Precisamos encontrar o ângulo entre essa força e o deslocamento quando a variação da energia cinética da partícula é +30,0 J e -30,0 J. Para resolver isso, vamos usar o conceito de trabalho realizado por uma força, que envolve a energia cinética e o ângulo entre força e deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a magnitude do deslocamento |d| = raiz(2)^2 + (0)^2 + (3)^2 = raiz4 + 0 + 9 = raiz13 approx 3,605 m . A fórmula para o comprimento de um vetor é:

Passo 3

Sabemos que o trabalho W = F cdot d = |F| cdot |d| cdot cos(theta) realizado pela força é relacionado à força, deslocamento e ao ângulo entre eles pela fórmula:
Onde:
  • é a variação da energia cinética

Passo 4

Vamos isolar cos(theta) = W|F| cdot |d| na fórmula:
cos(theta) = 30,012 times 3,605 approx 30,043,26 approx 0,693
Agora, substituímos os valores para os dois casos:

a) Quando cos(theta) = -30,012 times 3,605 approx -30,043,26 approx -0,693

b) Quando

Passo 5

Agora, vamos encontrar o ângulo theta approx arccos(0,693) approx 46,0^circ usando a função inversa do cosseno ( theta approx arccos(-0,693) approx 134,0^circ ):

a) Quando

b) Quando

Resposta

O ângulo entre a força e o deslocamento é aproximadamente:
  • a) quando a variação da energia cinética é +30,0 J
  • b) quando a variação da energia cinética é -30,0 J

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