Uma particula de
de peso está presa a um fio de comprimento
cuja outra extremidade está fixa e que pode girar a 2,0 r.p.s. Pede-se determinar se o fio poderá manter a particula em movimento sem se romper, uma vez que a tração máxima que o fio pode suportar é de 33 kgf . O movimento se realiza sobre uma mesa horizontal sem atrito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula que pesa 4,9 kgf presa a um fio de 1,0 metro. Esse fio está fixo em uma extremidade e pode girar a 2,0 rotações por segundo. Queremos descobrir se o fio aguenta segurar a partícula enquanto ela gira sem se romper, sabendo que o fio suporta no máximo 33 kgf de tração. Vamos usar conceitos de movimento circular e forças para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na partícula. Tem o peso dela, que puxa pra baixo, e a força de tração no fio, que tem duas componentes: uma na vertical para segurar o peso e outra na horizontal para manter o movimento circular. A mesa é sem atrito, então não precisamos nos preocupar com isso.
Passo 3
Vamos separar a força de tração em duas partes:
- Tração vertical (
): contrabalança o peso da partícula. - Tração horizontal (
): fornece a força centrípeta que mantém a partícula girando.
Passo 4
Primeiro, calculamos a força vertical. Como a partícula está em equilíbrio na vertical, a tração vertical é igual ao peso:
Passo 5
Agora, vamos para a força centrípeta. Precisamos primeiro converter as rotações por segundo para velocidade angular (
):
A força centrípeta (
) é dada por:
Mas como estamos trabalhando com kgf, e
, podemos reescrever:
Assumindo
, mas como usamos kgf, podemos simplificar
em kgf diretamente.
Passo 6
Calculando
:
Então, a força centrípeta necessária é de aproximadamente 19,7 kgf.
Passo 7
A tração horizontal
precisa ser igual a
:
Agora, sabemos que as componentes da tração estão relacionadas pelo ângulo do fio. Usamos o teorema de Pitágoras para encontrar a tração total
:
Resposta
Como a tração total necessária é de aproximadamente 20,3 kgf, que é menor que a tração máxima que o fio suporta (33 kgf), o fio consegue manter a partícula em movimento sem se romper.