Uma particula de 4,9 kgf de peso está presa a um fio de comprimento 1,0 m cuja outra extremidade está fixa e que pode girar a 2,0 r.p.s. Pede-se determinar se o fio poderá manter a particula em movimento sem se romper, uma vez que a tração máxima que o fio pode suportar é de 33 kgf . O movimento se realiza sobre uma mesa horizontal sem atrito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula que pesa 4,9 kgf presa a um fio de 1,0 metro. Esse fio está fixo em uma extremidade e pode girar a 2,0 rotações por segundo. Queremos descobrir se o fio aguenta segurar a partícula enquanto ela gira sem se romper, sabendo que o fio suporta no máximo 33 kgf de tração. Vamos usar conceitos de movimento circular e forças para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na partícula. Tem o peso dela, que puxa pra baixo, e a força de tração no fio, que tem duas componentes: uma na vertical para segurar o peso e outra na horizontal para manter o movimento circular. A mesa é sem atrito, então não precisamos nos preocupar com isso.

Passo 3

Vamos separar a força de tração em duas partes:
  • Tração vertical ( ): contrabalança o peso da partícula.
  • Tração horizontal ( ): fornece a força centrípeta que mantém a partícula girando.

Passo 4

Primeiro, calculamos a força vertical. Como a partícula está em equilíbrio na vertical, a tração vertical é igual ao peso:
Tv = P = 4,9 , kgf

Passo 5

Agora, vamos para a força centrípeta. Precisamos primeiro converter as rotações por segundo para velocidade angular ( omega = 2pi times rps = 2pi times 2,0 = 4pi , rad/s ):
Fc = m omega^2 r
A força centrípeta ( Fc = P omega^2 rg ) é dada por:
Mas como estamos trabalhando com kgf, e , podemos reescrever:
Assumindo , mas como usamos kgf, podemos simplificar em kgf diretamente.

Passo 6

Calculando Fc = 4,9 times (4pi^2) times 1,09,81 approx 4,9 times 39,48 times 1,09,81 approx 193,059,81 approx 19,7 , kgf :
Então, a força centrípeta necessária é de aproximadamente 19,7 kgf.

Passo 7

A tração horizontal Th = 19,7 , kgf precisa ser igual a T = raizTv^2 + Th^2 = raiz4,9^2 + 19,7^2 approx raiz24,01 + 388,09 approx raiz412,10 approx 20,3 , kgf :
Agora, sabemos que as componentes da tração estão relacionadas pelo ângulo do fio. Usamos o teorema de Pitágoras para encontrar a tração total :

Resposta

Como a tração total necessária é de aproximadamente 20,3 kgf, que é menor que a tração máxima que o fio suporta (33 kgf), o fio consegue manter a partícula em movimento sem se romper.

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