O amortecimento é crítico, sub-crítico ou super-crítico? Explique e resolva a equação diferencial para uma oscilação amortecida considerando o tipo de amortecimento definido.

Passo 1

Então, a gente tem uma questão sobre amortecimento em sistemas oscilatórios. A pergunta é: o amortecimento é crítico, subcrítico ou supercrítico? Além disso, precisamos resolver a equação diferencial que descreve uma oscilação amortecida considerando o tipo de amortecimento identificado. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e os diferentes tipos de amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o amortecimento descreve como a amplitude de uma oscilação decresce ao longo do tempo. Existem três tipos principais de amortecimento:
  1. Subcrítico (subamortecido): O sistema oscila enquanto a amplitude diminui gradualmente.
  2. Crítico (amortecimento crítico): O sistema retorna ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilar.
  3. Supercrítico (superamortecido): O sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, mas mais lentamente que no caso crítico.

Passo 3

Para determinar qual tipo de amortecimento estamos lidando, precisamos analisar o discriminante da equação diferencial característica associada. A equação diferencial para uma oscilação amortecida geralmente é dada por:
m d^2xdt^2 + c dxdt + kx = 0
Onde:
  • é a massa,
  • é o coeficiente de amortecimento,
  • é a constante elástica,
  • é a posição.

Passo 4

Dividindo toda a equação por d^2xdt^2 + 2zetaomegan dxdt + omegan^2 x = 0 para simplificar, temos:
Onde:
  • é a frequência natural,
  • é o coeficiente de amortecimento adimensional.

Passo 5

O discriminante da equação característica associada é dado por De. Simplificando:
  • Se , temos → Amortecimento subcrítico.
  • Se , temos → Amortecimento crítico.
  • Se , temos → Amortecimento supercrítico.

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação diferencial para cada caso:
  1. Amortecimento Subcrítico ( x(t) = e^-zetaomegan t ( A cos(omegad t) + B sin(omegad t) ) ):
A solução geral é:
x(t) = (A + Bt) e^-omegan t
Onde x(t) = A e^(-zeta + raizzeta^2 -1)omegan t + B e^(-zeta - raizzeta^2 -1)omegan t é a frequência de oscilação amortecida.
  1. Amortecimento Crítico ( ):
A solução geral é:
  1. Amortecimento Supercrítico ( ):
A solução geral é:

Resposta

Identificamos o tipo de amortecimento verificando o coeficiente :
  • Subcrítico se ,
  • Crítico se ,
  • Supercrítico se .
Depois de determinar , resolvemos a equação diferencial correspondente conforme os casos apresentados acima.

Exercícios relacionados

  1. (2ptos) Uma roda-gigante com raio igual a 14,0 m está girando no sentido anti-horário em torno de um eixo horizontal que passa pelo seu centro. A velocidade linear de uma passageira na sua periferia é igual a 3,00 m / s. Determine o módulo, a direção e o sentido da aceleração da passageira a) no ponto mais baixo do movimento circular, b) no ponto mais alto do movimento circular. c) Quanto tempo leva para a roda-gigante completar uma revolução? d) Em um dado momento, ao passar pelo ponto mais baixo do movimento circular, a roda-gigante começa ganhar velocidade com uma taxa de 0,500 m / s^2, encontre o módulo, direção e sentido da aceleração que age sobre a passageira (Faça um desenho da roda-gigante e da passageira mostrando os vetores velocidade e aceleração da passageira).
Uma particula de 4,9 kgf de peso está presa a um fio de comprimento 1,0 m cuja outra extremidade está fixa e que pode girar a 2,0 r.p.s. Pede-se determinar se o fio poderá manter a particula em movimento sem se romper, uma vez que a tração máxima que o fio pode suportar é de 33 kgf . O movimento se realiza sobre uma mesa horizontal sem atrito.
Um fio em forma de semicírculo de raio R é eletrizado com uma carga positiva segundo uma distribuição linear de carga dada por lambda(x)=lambda0 cos theta, sendo lambda0 uma constante e theta um ângulo medido em relação ao eixo x. (i) Determine a força elétrica produzida sobre uma carga puntiforme, também positiva, de módulo q, colocada no ponto P, no centro do semicírculo. (ii) Determine a constante lambda0 em função da carga total Q do semicírculo.
Uma esfera isolante de raio a e carga Q é envolta por uma casca esférica também isolante de raio interno b e raio externo c. Sendo Q a carga no interior da casca esférica (distribuída uniformemente pela estrutura da casca) calcule o campo elétrico nas regiões (r, (a e r>c.