O amortecimento é crítico, sub-crítico ou super-crítico? Explique e resolva a equação diferencial para uma oscilação amortecida considerando o tipo de amortecimento definido.
Passo 1
Então, a gente tem uma questão sobre amortecimento em sistemas oscilatórios. A pergunta é: o amortecimento é crítico, subcrítico ou supercrítico? Além disso, precisamos resolver a equação diferencial que descreve uma oscilação amortecida considerando o tipo de amortecimento identificado. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e os diferentes tipos de amortecimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o amortecimento descreve como a amplitude de uma oscilação decresce ao longo do tempo. Existem três tipos principais de amortecimento:
- Subcrítico (subamortecido): O sistema oscila enquanto a amplitude diminui gradualmente.
- Crítico (amortecimento crítico): O sistema retorna ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilar.
- Supercrítico (superamortecido): O sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, mas mais lentamente que no caso crítico.
Passo 3
Para determinar qual tipo de amortecimento estamos lidando, precisamos analisar o discriminante da equação diferencial característica associada. A equação diferencial para uma oscilação amortecida geralmente é dada por:
Onde:
-
é a massa, -
é o coeficiente de amortecimento, -
é a constante elástica, -
é a posição.
Passo 4
Dividindo toda a equação por
para simplificar, temos:
Onde:
-
é a frequência natural, -
é o coeficiente de amortecimento adimensional.
Passo 5
O discriminante da equação característica associada é dado por
. Simplificando:
- Se
, temos → Amortecimento subcrítico. - Se
, temos → Amortecimento crítico. - Se
, temos → Amortecimento supercrítico.
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação diferencial para cada caso:
- Amortecimento Subcrítico (
):
A solução geral é:
Onde
é a frequência de oscilação amortecida.
- Amortecimento Crítico (
):
A solução geral é:
- Amortecimento Supercrítico (
):
A solução geral é:
Resposta
Identificamos o tipo de amortecimento verificando o coeficiente
:
- Subcrítico se
, - Crítico se
, - Supercrítico se
.
Depois de determinar
, resolvemos a equação diferencial correspondente conforme os casos apresentados acima.