O amortecimento é crítico, sub-crítico ou super-crítico? Explique e resolva a equação diferencial para uma oscilação amortecida considerando o tipo de amortecimento definido.

Passo 1

Então, a gente tem uma questão sobre amortecimento em sistemas oscilatórios. A pergunta é: o amortecimento é crítico, subcrítico ou supercrítico? Além disso, precisamos resolver a equação diferencial que descreve uma oscilação amortecida considerando o tipo de amortecimento identificado. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e os diferentes tipos de amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o amortecimento descreve como a amplitude de uma oscilação decresce ao longo do tempo. Existem três tipos principais de amortecimento:
  1. Subcrítico (subamortecido): O sistema oscila enquanto a amplitude diminui gradualmente.
  2. Crítico (amortecimento crítico): O sistema retorna ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilar.
  3. Supercrítico (superamortecido): O sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, mas mais lentamente que no caso crítico.

Passo 3

Para determinar qual tipo de amortecimento estamos lidando, precisamos analisar o discriminante da equação diferencial característica associada. A equação diferencial para uma oscilação amortecida geralmente é dada por:
m d^2xdt^2 + c dxdt + kx = 0
Onde:
  • é a massa,
  • é o coeficiente de amortecimento,
  • é a constante elástica,
  • é a posição.

Passo 4

Dividindo toda a equação por d^2xdt^2 + 2zetaomegan dxdt + omegan^2 x = 0 para simplificar, temos:
Onde:
  • é a frequência natural,
  • é o coeficiente de amortecimento adimensional.

Passo 5

O discriminante da equação característica associada é dado por De. Simplificando:
  • Se , temos → Amortecimento subcrítico.
  • Se , temos → Amortecimento crítico.
  • Se , temos → Amortecimento supercrítico.

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação diferencial para cada caso:
  1. Amortecimento Subcrítico ( x(t) = e^-zetaomegan t ( A cos(omegad t) + B sin(omegad t) ) ):
A solução geral é:
x(t) = (A + Bt) e^-omegan t
Onde x(t) = A e^(-zeta + raizzeta^2 -1)omegan t + B e^(-zeta - raizzeta^2 -1)omegan t é a frequência de oscilação amortecida.
  1. Amortecimento Crítico ( ):
A solução geral é:
  1. Amortecimento Supercrítico ( ):
A solução geral é:

Resposta

Identificamos o tipo de amortecimento verificando o coeficiente :
  • Subcrítico se ,
  • Crítico se ,
  • Supercrítico se .
Depois de determinar , resolvemos a equação diferencial correspondente conforme os casos apresentados acima.

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