- (2ptos) Uma roda-gigante com raio igual a
está girando no sentido anti-horário em torno de um eixo horizontal que passa pelo seu centro. A velocidade linear de uma passageira na sua periferia é igual a
. Determine o módulo, a direção e o sentido da aceleração da passageira a) no ponto mais baixo do movimento circular, b) no ponto mais alto do movimento circular. c) Quanto tempo leva para a roda-gigante completar uma revolução? d) Em um dado momento, ao passar pelo ponto mais baixo do movimento circular, a roda-gigante começa ganhar velocidade com uma taxa de
, encontre o módulo, direção e sentido da aceleração que age sobre a passageira (Faça um desenho da roda-gigante e da passageira mostrando os vetores velocidade e aceleração da passageira).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre movimento circular usando alguns conceitos de física. A questão fala sobre uma roda-gigante com raio de
girando no sentido anti-horário. A gente precisa descobrir algumas coisas sobre a aceleração da passageira em diferentes pontos do movimento e também o tempo que a roda leva para completar uma volta. Para resolver isso, vamos precisar entender de velocidade linear, aceleração centrípeta e aceleração tangencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a situação. A roda-gigante está girando com uma velocidade linear de
. A aceleração em movimento circular tem duas partes principais: a aceleração centrípeta, que aponta para o centro da roda, e a aceleração tangencial, que está relacionada a mudanças na velocidade.
Passo 3
Vamos começar com a parte a) do exercício: determinar a aceleração da passageira no ponto mais baixo do movimento circular.
A aceleração centrípeta (
) é dada por:
onde
é a velocidade linear e
é o raio da roda.
Substituindo os valores:
No ponto mais baixo, a aceleração centrípeta está voltada para cima (em direção ao centro da roda).
Passo 4
Agora, para a parte b): determinar a aceleração no ponto mais alto do movimento circular.
A aceleração centrípeta continua sendo:
No ponto mais alto, a aceleração centrípeta está voltada para baixo, ainda em direção ao centro da roda.
Passo 5
Vamos para a parte c): calcular o tempo que a roda-gigante leva para completar uma revolução.
O tempo de uma revolução, também conhecido como período (
), está relacionado à velocidade linear e ao raio pela fórmula:
Resolvendo para
:
Substituindo os valores:
Passo 6
Finalmente, a parte d): quando a roda começa a ganhar velocidade com uma taxa de
, precisamos achar a aceleração total da passageira no ponto mais baixo.
Aqui, temos duas acelerações:
- Aceleração centrípeta (
): para cima. - Aceleração tangencial (
): na direção do movimento, que no ponto mais baixo é horizontal para a esquerda.
A aceleração total é a combinação vetorial dessas duas acelerações. Como elas são perpendiculares, usamos o teorema de Pitágoras:
A direção da aceleração pode ser encontrada pelo ângulo (
) entre a aceleração centrípeta e a aceleração tangencial:
Este ângulo é medido a partir da aceleração centrípeta para a aceleração tangencial.
Resposta
a) No ponto mais baixo, a aceleração da passageira tem módulo de aproximadamente
, dirigida para cima em direção ao centro da roda.
b) No ponto mais alto, a aceleração continua com módulo de
, mas agora direcionada para baixo, também em direção ao centro.
c) A roda-gigante leva aproximadamente
para completar uma revolução.
d) Quando a roda começa a acelerar, a aceleração total da passageira no ponto mais baixo é de aproximadamente
, formando um ângulo de
acima da horizontal, combinando a aceleração centrípeta para cima e a aceleração tangencial para a esquerda.