Uma partícula de massa
move-se de acordo com uma força dependente do tempo t ( t em unidade de segundo) dada por
(com unidade de Newton). Assumindo que em
a partícula está localizada
(com unidade de metro) e tem velocidade
, encontre a variação de momento
da partícula de
a
, onde
é o momento da partícula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa $ m = \frac{2}{3} $ kg que está sendo puxada por uma força que muda com o tempo. A força é dada por:
No instante inicial $ t = 0 $ segundos, a partícula está na posição $ \vec{r}_0 = 3 \hat{\imath} - \hat{\jmath} + 4 \hat{k} $ metros e tem velocidade $ \vec{v}_0 = 6 \hat{\imath} + 15 \hat{\jmath} - 8 \hat{k} $ metros por segundo. O que a gente precisa encontrar é a variação do momento linear $ \Delta \vec{p} $ da partícula entre $ t = 1 $ s e $ t = 2 $ s.
Vamos usar os conceitos de momentum (momento linear) e força para resolver isso. O momento linear é dado por $ \vec{p} = m \vec{v} $, e a variação do momento está relacionada à força aplicada pela segunda lei de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força está relacionada à variação do momento linear no tempo pela segunda lei de Newton:
Como a massa $ m $ é constante, podemos escrever o momento como $ \vec{p} = m \vec{v} $. Então, a variação do momento entre dois tempos $ t_1 $ e $ t_2 $ é:
Mas para encontrar $ \vec{v}_2 - \vec{v}_1 $, precisamos integrar a força em relação ao tempo para obter a variação da velocidade.
Passo 3
A variação da velocidade $ \Delta \vec{v} $ pode ser encontrada integrando a aceleração $ \vec{a}(t) $. Sabemos que $ \vec{F}(t) = m \vec{a}(t) $, então:
Vamos calcular $ \vec{a}(t) $:
Passo 4
Agora, vamos integrar a aceleração de $ t = 1 $ s a $ t = 2 $ s para encontrar a variação da velocidade:
Vamos integrar cada componente separadamente:
Para o componente $ \hat{\imath} $:
Para o componente $ \hat{\jmath} $:
Para o componente $ \hat{k} $:
Passo 5
Com a variação da velocidade em mãos, podemos agora calcular a variação do momento $ \Delta \vec{p} $:
Multiplicando cada componente:
Resposta
A variação do momento da partícula entre $ t = 1 $ s e $ t = 2 $ s é: