Uma partícula de massa m=2 / 3 Kg move-se de acordo com uma força dependente do tempo t ( t em unidade de segundo) dada por F(t)=8 t^2 i+ (12 t-16 / 3) jmath-4 t k (com unidade de Newton). Assumindo que em t=0 s a partícula está localizada cm r0=3 i-jmath+4 k (com unidade de metro) e tem velocidade v0=6 imath+15 jmath-8k, encontre a variação de momento (De da partícula de t=1 s a t=2 s, onde p=m v é o momento da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa $ m = \frac{2}{3} $ kg que está sendo puxada por uma força que muda com o tempo. A força é dada por:
m = 23
No instante inicial $ t = 0 $ segundos, a partícula está na posição $ \vec{r}_0 = 3 \hat{\imath} - \hat{\jmath} + 4 \hat{k} $ metros e tem velocidade $ \vec{v}_0 = 6 \hat{\imath} + 15 \hat{\jmath} - 8 \hat{k} $ metros por segundo. O que a gente precisa encontrar é a variação do momento linear $ \Delta \vec{p} $ da partícula entre $ t = 1 $ s e $ t = 2 $ s.
Vamos usar os conceitos de momentum (momento linear) e força para resolver isso. O momento linear é dado por $ \vec{p} = m \vec{v} $, e a variação do momento está relacionada à força aplicada pela segunda lei de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força está relacionada à variação do momento linear no tempo pela segunda lei de Newton:
F(t) = dpdt
Como a massa $ m $ é constante, podemos escrever o momento como $ \vec{p} = m \vec{v} $. Então, a variação do momento entre dois tempos $ t_1 $ e $ t_2 $ é:
m
Mas para encontrar $ \vec{v}_2 - \vec{v}_1 $, precisamos integrar a força em relação ao tempo para obter a variação da velocidade.

Passo 3

A variação da velocidade $ \Delta \vec{v} $ pode ser encontrada integrando a aceleração $ \vec{a}(t) $. Sabemos que $ \vec{F}(t) = m \vec{a}(t) $, então:
De
Vamos calcular $ \vec{a}(t) $:
a(t)

Passo 4

Agora, vamos integrar a aceleração de $ t = 1 $ s a $ t = 2 $ s para encontrar a variação da velocidade:
t = 1
Vamos integrar cada componente separadamente:
Para o componente $ \hat{\imath} $:
t = 2
Para o componente $ \hat{\jmath} $:
De
Para o componente $ \hat{k} $:
imath

Passo 5

Com a variação da velocidade em mãos, podemos agora calcular a variação do momento $ \Delta \vec{p} $:
De
Multiplicando cada componente:
De

Resposta

A variação do momento da partícula entre $ t = 1 $ s e $ t = 2 $ s é:
t = 1

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