Devido a uma força, uma particula de massa de 2,5 Kg move-se ao longo de um espaço curvo, onde seu vetor posição (com unidade de metro) é dado em função do tempo t (com unidade de segundo) por r(t)=(4 t^3+2 t) imath+(6 t^4-2 t^2+16) jmath-24 t^2 k. Ache: (a) a velocidade, (b) o momento, © a aceleração, (d) a força em qualquer tempo t, e (e) o tipo de movimento nas direções imath, jmath e k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com massa de 2,5, Kg que se move em um espaço curvo, e a posição dela é dada por:
r(t) = (4 t^3+2 t) imath + (6 t^4-2 t^2+16) jmath - 24 t^2 k
Para resolver as partes (a) a (e), vamos precisar usar conceitos de cinemática vetorial, que envolve derivadas para encontrar velocidade e aceleração, momento linear, que é massa vezes velocidade, e a segunda lei de Newton para encontrar a força. Além disso, vamos analisar o tipo de movimento em cada direção cartesiana.

Passo 2

a) Velocidade ( v(t))
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar cada componente de r(t):
v(t) = dr(t)dt = (ddt(4 t^3+2 t)) imath + (ddt(6 t^4-2 t^2+16)) jmath + (ddt(-24 t^2)) k
Calculando cada derivada:
v(t) = (12 t^2 + 2) imath + (24 t^3 - 4 t) jmath - 48 t k

Passo 3

b) Momento ( p(t))
O momento é dado por:
p(t) = m cdot v(t)
Onde m = 2,5, Kg. Então:
p(t) = 2,5 cdot [(12 t^2 + 2) imath + (24 t^3 - 4 t) jmath - 48 t k]
Multiplicando:
p(t) = (30 t^2 + 5) imath + (60 t^3 - 10 t) jmath - 120 t k, kg·m/s

Passo 4

c) Aceleração ( a(t))
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dv(t)dt = (ddt(12 t^2 + 2)) imath + (ddt(24 t^3 - 4 t)) jmath + (ddt(-48 t)) k
Calculando cada derivada:
a(t) = (24 t) imath + (72 t^2 - 4) jmath - 48 k

Passo 5

d) Força ( F(t))
Segundo a segunda lei de Newton, a força é dada por:
F(t) = m cdot a(t)
Usando m = 2,5, Kg:
F(t) = 2,5 cdot [24 t, imath + (72 t^2 - 4) jmath - 48 k]
Multiplicando:
F(t) = (60 t) imath + (180 t^2 - 10) jmath - 120 k, N

Passo 6

e) Tipo de Movimento nas Direções imath, jmath e k
Vamos analisar o movimento em cada direção:
  • imath (x): A posição é 4 t^3 + 2 t, que é uma função cúbica. Isso indica um movimento não uniforme com aceleração variável.
  • jmath (y): A posição é 6 t^4 - 2 t^2 + 16, uma função de quarto grau. Também representa um movimento não uniforme com aceleração que varia ao longo do tempo.
  • k (z): A posição é -24 t^2, uma função do segundo grau. Isso indica um movimento uniformemente acelerado na direção z, já que a aceleração é constante (derivada segunda é constante).

Resposta

(a) A velocidade é v(t) = (12 t^2 + 2) imath + (24 t^3 - 4 t) jmath - 48 t k;
(b) O momento é p(t) = (30 t^2 + 5) imath + (60 t^3 - 10 t) jmath - 120 t k, kg·m/s;
© A aceleração é a(t) = 24 t imath + (72 t^2 - 4) jmath - 48 k;
(d) A força em qualquer tempo t é F(t) = 60 t imath + (180 t^2 - 10) jmath - 120 k, N;
(e) O movimento nas direções imath e jmath é não uniforme com aceleração variável, enquanto na direção k é uniformemente acelerado.

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