Devido a uma força, uma particula de massa de
move-se ao longo de um espaço curvo, onde seu vetor posição (com unidade de metro) é dado em função do tempo
(com unidade de segundo) por
. Ache: (a) a velocidade, (b) o momento, © a aceleração, (d) a força em qualquer tempo
, e (e) o tipo de movimento nas direções
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com massa de
que se move em um espaço curvo, e a posição dela é dada por:
Para resolver as partes (a) a (e), vamos precisar usar conceitos de cinemática vetorial, que envolve derivadas para encontrar velocidade e aceleração, momento linear, que é massa vezes velocidade, e a segunda lei de Newton para encontrar a força. Além disso, vamos analisar o tipo de movimento em cada direção cartesiana.
Passo 2
a) Velocidade (
)
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar cada componente de
:
Calculando cada derivada:
Passo 3
b) Momento (
)
O momento é dado por:
Onde
. Então:
Multiplicando:
Passo 4
c) Aceleração (
)
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Calculando cada derivada:
Passo 5
d) Força (
)
Segundo a segunda lei de Newton, a força é dada por:
Usando
:
Multiplicando:
Passo 6
e) Tipo de Movimento nas Direções
e
Vamos analisar o movimento em cada direção:
-
(x): A posição é , que é uma função cúbica. Isso indica um movimento não uniforme com aceleração variável. -
(y): A posição é , uma função de quarto grau. Também representa um movimento não uniforme com aceleração que varia ao longo do tempo. -
(z): A posição é , uma função do segundo grau. Isso indica um movimento uniformemente acelerado na direção z, já que a aceleração é constante (derivada segunda é constante).
Resposta
(a) A velocidade é
;
(b) O momento é
;
© A aceleração é
;
(d) A força em qualquer tempo
é
;
(e) O movimento nas direções
e
é não uniforme com aceleração variável, enquanto na direção
é uniformemente acelerado.