Uma partícula de massa
é colocada sobre um eixo perpendicular ao plano de um anel circular. Esse eixo passa pelo centro do anel e a partícula está localizada em um ponto
a uma distância z do centro dele. Esse anel possui distribuição de massa homogênea e espessura desprezível. Além disso, possui massa
e raio
. Considere
a constante de gravitação universal.
Calcule o vetor força gravitacional que o anel exerce sobre a partícula quando esta se encontra no centro do anel ( 5 pontos).
Calcule o vetor força gravitacional que o anel exerce sobre a partícula quando esta se encontra no centro do anel ( 5 pontos).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física! A gente tem uma partícula de massa
colocada no centro de um anel circular que tem massa
e raio
. A ideia é calcular a força gravitacional que esse anel exerce sobre a partícula quando ela está exatamente no centro. Para isso, vamos precisar usar conceitos de gravitação universal e entender como a simetria do problema ajuda na resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força gravitacional entre duas massas é dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton:
onde
é a constante gravitacional,
e
são as massas envolvidas, e
é a distância entre elas.
Passo 3
No nosso caso, a partícula de massa
está no centro do anel. Vamos considerar um elemento pequeno de massa no anel, digamos
. A distância entre esse elemento e a partícula é exatamente o raio do anel,
.
Passo 4
A força gravitacional exercida por esse elemento
sobre a partícula é:
Mas, como o anel é simétrico, para cada elemento em uma posição, há outro exatamente oposto. As componentes das forças nesse par se cancelam nas direções laterais.
Passo 5
Somando todas essas forças ao redor do anel, percebemos que, devido à simetria, todas as forças horizontais se cancelam. Restaria apenas a componente vertical, mas como a distância é a mesma e simétrica, essa componente também se anula.
Passo 6
Portanto, a força gravitacional resultante que o anel exerce sobre a partícula no centro é nula.