Uma partícula de massa m é colocada sobre um eixo perpendicular ao plano de um anel circular. Esse eixo passa pelo centro do anel e a partícula está localizada em um ponto P a uma distância z do centro dele. Esse anel possui distribuição de massa homogênea e espessura desprezível. Além disso, possui massa M e raio a. Considere G a constante de gravitação universal.
Calcule o vetor força gravitacional que o anel exerce sobre a partícula quando esta se encontra no centro do anel ( 5 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física! A gente tem uma partícula de massa m colocada no centro de um anel circular que tem massa M e raio a. A ideia é calcular a força gravitacional que esse anel exerce sobre a partícula quando ela está exatamente no centro. Para isso, vamos precisar usar conceitos de gravitação universal e entender como a simetria do problema ajuda na resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força gravitacional entre duas massas é dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton:
F = G m1 m2r^2
onde G é a constante gravitacional, m1 e m2 são as massas envolvidas, e r é a distância entre elas.

Passo 3

No nosso caso, a partícula de massa m está no centro do anel. Vamos considerar um elemento pequeno de massa no anel, digamos dM. A distância entre esse elemento e a partícula é exatamente o raio do anel, a.

Passo 4

A força gravitacional exercida por esse elemento dM sobre a partícula é:
dF = G m , dMa^2
Mas, como o anel é simétrico, para cada elemento em uma posição, há outro exatamente oposto. As componentes das forças nesse par se cancelam nas direções laterais.

Passo 5

Somando todas essas forças ao redor do anel, percebemos que, devido à simetria, todas as forças horizontais se cancelam. Restaria apenas a componente vertical, mas como a distância é a mesma e simétrica, essa componente também se anula.

Passo 6

Portanto, a força gravitacional resultante que o anel exerce sobre a partícula no centro é nula.

Resposta

F = 0

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