Uma nave espacial de massa
descreve uma órbita circular a uma distância
do centro da Terra. Considere
a constante de gravitação universal e
a massa da Terra. Desconsidere as forças de atrito.
Obtenha o período da órbita da nave. Os foguetes da nave estão desligados. ( 5 pontos).
Obtenha o período da órbita da nave. Os foguetes da nave estão desligados. ( 5 pontos).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma nave espacial de massa $ m $ que está orbitando a Terra em uma trajetória circular a uma distância $ R_1 $ do centro da Terra. O que precisamos encontrar é o período dessa órbita, ou seja, quanto tempo a nave leva para completar uma volta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de leis do movimento circular e lei da gravitação universal de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um objeto manter uma órbita circular, a força centrípeta necessária para mantê-lo na trajetória deve ser igual à força gravitacional que está agindo sobre ele. A força gravitacional é dada pela fórmula:
Onde:
- $ G $ é a constante de gravitação universal,
- $ M_T $ é a massa da Terra,
- $ m $ é a massa da nave,
- $ R_1 $ é a distância do centro da Terra até a nave.
Passo 3
A força centrípeta necessária para manter a nave em órbita é dada por:
Onde $ v $ é a velocidade orbital da nave.
Passo 4
Como as duas forças devem ser iguais para que a órbita seja mantida, podemos igualar as expressões:
Observa que a massa $ m $ da nave aparece nos dois lados e pode ser cancelada:
Passo 5
Agora, vamos resolver para $ v $:
Passo 6
Sabendo a velocidade orbital $ v $, podemos encontrar o período $ T $ da órbita. O período é o tempo que a nave leva para completar uma volta, que é igual ao comprimento da órbita dividido pela velocidade:
Passo 7
Substituindo a expressão de $ v $ que encontramos:
Simplificando a expressão:
Resposta
O período da órbita da nave é: