Uma nave espacial de massa m descreve uma órbita circular a uma distância R1 do centro da Terra. Considere G a constante de gravitação universal e MT a massa da Terra. Desconsidere as forças de atrito.
Obtenha o período da órbita da nave. Os foguetes da nave estão desligados. ( 5 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma nave espacial de massa $ m $ que está orbitando a Terra em uma trajetória circular a uma distância $ R_1 $ do centro da Terra. O que precisamos encontrar é o período dessa órbita, ou seja, quanto tempo a nave leva para completar uma volta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de leis do movimento circular e lei da gravitação universal de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um objeto manter uma órbita circular, a força centrípeta necessária para mantê-lo na trajetória deve ser igual à força gravitacional que está agindo sobre ele. A força gravitacional é dada pela fórmula:
Fgrav = G MT mR1^2
Onde:
  • $ G $ é a constante de gravitação universal,
  • $ M_T $ é a massa da Terra,
  • $ m $ é a massa da nave,
  • $ R_1 $ é a distância do centro da Terra até a nave.

Passo 3

A força centrípeta necessária para manter a nave em órbita é dada por:
Fcentrípeta = m v^2R1 í
Onde $ v $ é a velocidade orbital da nave.

Passo 4

Como as duas forças devem ser iguais para que a órbita seja mantida, podemos igualar as expressões:
G MT mR1^2 = m v^2R1
Observa que a massa $ m $ da nave aparece nos dois lados e pode ser cancelada:
m

Passo 5

Agora, vamos resolver para $ v $:
v
v^2 = G MTR1

Passo 6

Sabendo a velocidade orbital $ v $, podemos encontrar o período $ T $ da órbita. O período é o tempo que a nave leva para completar uma volta, que é igual ao comprimento da órbita dividido pela velocidade:
v

Passo 7

Substituindo a expressão de $ v $ que encontramos:
v
Simplificando a expressão:
T = 2 pi R1raizG MTR1

Resposta

O período da órbita da nave é:
T = 2 pi raizR1^3G MT

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