Uma partícula de massa
é colocada sobre um eixo perpendicular ao plano de um anel circular. Esse eixo passa pelo centro do anel e a partícula está localizada em um ponto
a uma distância z do centro dele. Esse anel possui distribuição de massa homogênea e espessura desprezível. Além disso, possui massa
e raio
. Considere
a constante de gravitação universal.
Calcule o vetor campo gravitacional gerado pelo anel na posição z supracitada ( 15 pontos).
Calcule o vetor campo gravitacional gerado pelo anel na posição z supracitada ( 15 pontos).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o vetor campo gravitacional gerado por um anel de massa
e raio
em um ponto
localizado a uma distância
do centro do anel, ao longo do eixo perpendicular. Isso envolve entender conceitos de gravitação e como somar contribuições de diferentes partes do anel para achar o campo total. Vamos precisar usar a Lei da Gravitação Universal de Newton e um pouco de cálculo para integrar as contribuições de cada pedacinho do anel.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo gravitacional gerado por uma massa qualquer é dado por:
Aqui,
é a constante gravitacional,
é um elemento de massa do anel,
é o vetor unitário que aponta da massa para o ponto onde estamos calculando o campo, e
é a distância entre eles.
Passo 3
No caso do anel, devido à sua simetria circular, vamos considerar que todo elemento de massa
no anel está a mesma distância do ponto
. Essa distância
é o comprimento do segmento que liga
a
, e pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras:
Isso porque o anel tem raio
e o ponto
está a uma distância
ao longo do eixo.
Passo 4
Vamos analisar a direção do campo gravitacional. Como o anel é simétrico, as componentes horizontais dos campos de cada elemento de massa se cancelam, deixando apenas a componente vertical (ao longo do eixo) somando. Portanto, o campo total
será na direção do eixo, com magnitude
.
Passo 5
Agora, vamos expressar a contribuição de cada elemento de massa
para o campo gravitacional na direção do eixo. Usando a relação das componentes, temos:
Onde
é o ângulo entre o vetor
e o eixo. Como
, podemos reescrever:
Passo 6
Para encontrar o campo total
, vamos integrar
ao redor de todo o anel. Como a distribuição de massa é homogênea, podemos usar a relação
, onde
é o elemento de comprimento do anel. Portanto:
Resposta
O vetor campo gravitacional gerado pelo anel na posição
é dado por: