Uma partícula de massa m é colocada sobre um eixo perpendicular ao plano de um anel circular. Esse eixo passa pelo centro do anel e a partícula está localizada em um ponto P a uma distância z do centro dele. Esse anel possui distribuição de massa homogênea e espessura desprezível. Além disso, possui massa M e raio a. Considere G a constante de gravitação universal.
Calcule o vetor campo gravitacional gerado pelo anel na posição z supracitada ( 15 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o vetor campo gravitacional gerado por um anel de massa M e raio a em um ponto P localizado a uma distância z do centro do anel, ao longo do eixo perpendicular. Isso envolve entender conceitos de gravitação e como somar contribuições de diferentes partes do anel para achar o campo total. Vamos precisar usar a Lei da Gravitação Universal de Newton e um pouco de cálculo para integrar as contribuições de cada pedacinho do anel.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo gravitacional gerado por uma massa qualquer é dado por:
g = -G integral dm , rr^2
Aqui, G é a constante gravitacional, dm é um elemento de massa do anel, r é o vetor unitário que aponta da massa para o ponto onde estamos calculando o campo, e r é a distância entre eles.

Passo 3

No caso do anel, devido à sua simetria circular, vamos considerar que todo elemento de massa dm no anel está a mesma distância do ponto P. Essa distância r é o comprimento do segmento que liga dm a P, e pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras:
r = raiza^2 + z^2
Isso porque o anel tem raio a e o ponto P está a uma distância z ao longo do eixo.

Passo 4

Vamos analisar a direção do campo gravitacional. Como o anel é simétrico, as componentes horizontais dos campos de cada elemento de massa se cancelam, deixando apenas a componente vertical (ao longo do eixo) somando. Portanto, o campo total g será na direção do eixo, com magnitude g.

Passo 5

Agora, vamos expressar a contribuição de cada elemento de massa dm para o campo gravitacional na direção do eixo. Usando a relação das componentes, temos:
dg = -G dmr^2 costheta
Onde theta é o ângulo entre o vetor r e o eixo. Como costheta = zraiza^2 + z^2, podemos reescrever:
dg = -G dma^2 + z^2 cdot z

Passo 6

Para encontrar o campo total g, vamos integrar dg ao redor de todo o anel. Como a distribuição de massa é homogênea, podemos usar a relação dm = M2pi a ds, onde ds = a dphi é o elemento de comprimento do anel. Portanto:
g = -G Mz(a^2 + z^2)^3/2

Resposta

O vetor campo gravitacional gerado pelo anel na posição z é dado por:
g = -G M z(a^2 + z^2)^3/2 , z

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