Uma partícula de massa m está pendurada em um prego por um cordão, de comprimento ell de modo a formar um pêndulo que é colocado para oscilar sob a ação da gravidade g. Quando o ângulo entre o cordão e a vertical for theta, qual será o torque, em relação ao prego, da força realizada sobre a partícula (A) pela gravidade? (B) pelo cordão?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um pêndulo formado por uma partícula de massa m presa a um prego por um cordão de comprimento ell. Esse pêndulo está oscilando sob a ação da gravidade g. Quando o cordão faz um ângulo theta com a vertical, queremos descobrir dois torques:
(A) O torque da força da gravidade agindo na partícula.
(B) O torque da força do cordão.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é torque e como calcular usando vetores de força e distância.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é torque. Torque é uma medida de quão eficaz uma força é em causar rotação ao redor de um ponto. A fórmula para o torque ( tau) é:
tau = r times F = r F sin(phi)
Onde:
  • r é a distância do ponto de rotação (no caso, o prego) até o ponto onde a força está sendo aplicada.
  • F é a força aplicada.
  • phi é o ângulo entre o vetor r e a força F.

Passo 3

Vamos começar com a parte (A) da questão: o torque da força da gravidade sobre a partícula. A força da gravidade ( Fg) atua verticalmente para baixo e tem magnitude Fg = m g.
Aqui, o vetor r é o cordão, de comprimento ell, e o ângulo entre r e a força da gravidade é theta. Então, aplicando a fórmula do torque:
taug = ell cdot m g cdot sin(theta)
Isso porque a componente perpendicular da força da gravidade em relação ao cordão é m g sin(theta).

Passo 4

Agora, vamos para a parte (B): o torque da força do cordão. A força do cordão (tensão T) atua ao longo do próprio cordão, ou seja, na mesma direção de r. O ângulo entre o vetor r e a força do cordão é 0 graus.
Aplicando a fórmula do torque:
tauT = ell cdot T cdot sin(0) = 0
Como o seno de 0 é zero, o torque da força do cordão é zero. Isso faz sentido porque a força do cordão não causa rotação; ela apenas mantém a partícula em movimento circular.

Resposta

(A) O torque da força da gravidade é taug = m g ell sin(theta).
(B) O torque da força do cordão é tauT = 0.

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