A terceira lei de Kepler pode se enunciada da seguinte forma:
Os quadrados dos períodos de movimento dos planetas são proporcionais aos cubos dos semieixos maiores de suas órbitas elípticas.
Contudo, historicamente esta lei foi enunciada da seguinte forma:
Os quadrados dos tempos de revolução dos planetas são proporcionais aos cubos de duas distâncias médias ao sol.
Essa distância média pode ser pensada como a média entre o periélio e o afélio.
Mostre que estes enunciados são equivalentes.
Os quadrados dos períodos de movimento dos planetas são proporcionais aos cubos dos semieixos maiores de suas órbitas elípticas.
Contudo, historicamente esta lei foi enunciada da seguinte forma:
Os quadrados dos tempos de revolução dos planetas são proporcionais aos cubos de duas distâncias médias ao sol.
Essa distância média pode ser pensada como a média entre o periélio e o afélio.
Mostre que estes enunciados são equivalentes.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a terceira lei de Kepler, tanto na sua forma moderna quanto na forma histórica, significam a mesma coisa. A terceira lei diz que o quadrado do período de um planeta (
) é proporcional ao cubo do semieixo maior da sua órbita elíptica (
). Historicamente, essa lei foi enunciada dizendo que
é proporcional ao cubo da média entre o periélio (
) e o afélio (
) do planeta. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o semieixo maior e como ele se relaciona com o periélio e o afélio.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o semieixo maior (
) de uma elipse. Em uma órbita elíptica, o semieixo maior é a distância média entre o ponto mais próximo ao Sol (periélio) e o ponto mais distante (afélio). Matematicamente, isso é dado por:
Isso significa que o semieixo maior é simplesmente a média das distâncias do periélio e do afélio.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a forma histórica da terceira lei de Kepler. Ela afirma que:
onde
é a média entre
e
. Substituindo essa média pela expressão que encontramos no Passo 2, temos:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos considerar a forma moderna da terceira lei de Kepler, que diz:
Substituindo
pela expressão que definimos no Passo 2:
Passo 5
Comparando as duas expressões que obtivemos:
Vemos que ambas as formulações são idênticas.
Resposta
Portanto, mostramos que a terceira lei de Kepler, tanto na sua forma histórica quanto na moderna, são equivalentes porque ambas relacionam o quadrado do período de revolução (
) ao cubo da média das distâncias periélio e afélio (
), que é justamente o semieixo maior da órbita elíptica.