A terceira lei de Kepler pode se enunciada da seguinte forma:
Os quadrados dos períodos de movimento dos planetas são proporcionais aos cubos dos semieixos maiores de suas órbitas elípticas.
Contudo, historicamente esta lei foi enunciada da seguinte forma:
Os quadrados dos tempos de revolução dos planetas são proporcionais aos cubos de duas distâncias médias ao sol.
Essa distância média pode ser pensada como a média entre o periélio e o afélio.
Mostre que estes enunciados são equivalentes.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a terceira lei de Kepler, tanto na sua forma moderna quanto na forma histórica, significam a mesma coisa. A terceira lei diz que o quadrado do período de um planeta ( T^2) é proporcional ao cubo do semieixo maior da sua órbita elíptica ( a^3). Historicamente, essa lei foi enunciada dizendo que T^2 é proporcional ao cubo da média entre o periélio ( rp) e o afélio ( ra) do planeta. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o semieixo maior e como ele se relaciona com o periélio e o afélio.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o semieixo maior ( a) de uma elipse. Em uma órbita elíptica, o semieixo maior é a distância média entre o ponto mais próximo ao Sol (periélio) e o ponto mais distante (afélio). Matematicamente, isso é dado por:
a = rp + ra2
Isso significa que o semieixo maior é simplesmente a média das distâncias do periélio e do afélio.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a forma histórica da terceira lei de Kepler. Ela afirma que:
T^2 propto (dmédia)^3 é
onde dmédiaé é a média entre rp e ra. Substituindo essa média pela expressão que encontramos no Passo 2, temos:
dmédia = rp + ra2 é
Portanto,
T^2 propto ( rp + ra2 )^3

Passo 4

Agora, vamos considerar a forma moderna da terceira lei de Kepler, que diz:
T^2 propto a^3
Substituindo a pela expressão que definimos no Passo 2:
T^2 propto ( rp + ra2 )^3

Passo 5

Comparando as duas expressões que obtivemos:
Forma Histórica: T^2 propto ( rp + ra2 )^3 ó
Forma Moderna: T^2 propto ( rp + ra2 )^3
Vemos que ambas as formulações são idênticas.

Resposta

Portanto, mostramos que a terceira lei de Kepler, tanto na sua forma histórica quanto na moderna, são equivalentes porque ambas relacionam o quadrado do período de revolução ( T^2) ao cubo da média das distâncias periélio e afélio ( rp + ra2), que é justamente o semieixo maior da órbita elíptica.

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