Uma partícula move-se de forma que suas coordenadas da posição, em metros, em função do tempo t, em segundos, são dadas por:
x(t)=-0,31 t^2+7,2 t+28 e y(t)=0,22 t^2-9,1 t+30
Determine:
(a) No instante t=15 s, qual o vetor posição?
(b) No instante t=15 s, qual o vetor velocidade?
© No instante t=15 s, qual o vetor aceleração?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move no espaço, e suas posições em função do tempo são dadas pelas equações:
x(t) = -0,31 t^2 + 7,2 t + 28
y(t) = 0,22 t^2 - 9,1 t + 30
Vamos precisar usar conceitos de cálculo para derivar essas funções e encontrar a posição, a velocidade e a aceleração da partícula no instante t = 15 segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor posição no instante t = 15 s. O vetor posição é simplesmente as coordenadas x e y nesse instante.
Para isso, substituímos t = 15 nas equações de x(t) e y(t):
x(15) = -0,31 (15)^2 + 7,2 (15) + 28
y(15) = 0,22 (15)^2 - 9,1 (15) + 30

Passo 3

Vamos calcular x(15):
x(15) = -0,31 times 225 + 7,2 times 15 + 28
x(15) = -69,75 + 108 + 28
x(15) = 66,25 metros

Passo 4

Agora, calculamos y(15):
y(15) = 0,22 times 225 - 9,1 times 15 + 30
y(15) = 49,5 - 136,5 + 30
y(15) = -57 metros

Passo 5

Então, o vetor posição no instante t = 15 s é dado por:
r(15) = (x(15), y(15)) = (66,25 m, -57 m)

Passo 6

Agora, vamos encontrar o vetor velocidade no instante t = 15 s. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo.
Então, derivamos x(t) e y(t) em relação a t:
vx(t) = dxdt = ddt(-0,31 t^2 + 7,2 t + 28) = -0,62 t + 7,2
vy(t) = dydt = ddt(0,22 t^2 - 9,1 t + 30) = 0,44 t - 9,1

Passo 7

Substituímos t = 15 nas expressões de vx(t) e vy(t):
vx(15) = -0,62 times 15 + 7,2 = -9,3 + 7,2 = -2,1 m/s
vy(15) = 0,44 times 15 - 9,1 = 6,6 - 9,1 = -2,5 m/s

Passo 8

Portanto, o vetor velocidade no instante t = 15 s é:
v(15) = (vx(15), vy(15)) = (-2,1 m/s, -2,5 m/s)

Passo 9

Finalmente, vamos determinar o vetor aceleração no instante t = 15 s. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição.
Derivamos novamente vx(t) e vy(t):
ax(t) = dvxdt = ddt(-0,62 t + 7,2) = -0,62 m/s^2
ay(t) = dvydt = ddt(0,44 t - 9,1) = 0,44 m/s^2

Resposta

(a) O vetor posição em t = 15 s é r(15) = (66,25 m, -57 m).
(b) O vetor velocidade em t = 15 s é v(15) = (-2,1 m/s, -2,5 m/s).
© O vetor aceleração em t = 15 s é a(15) = (-0,62 m/s^2, 0,44 m/s^2).

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