Uma partícula move-se de forma que suas coordenadas da posição, em metros, em função do tempo
, em segundos, são dadas por:
Determine:
(a) No instante
, qual o vetor posição?
(b) No instante
, qual o vetor velocidade?
© No instante
, qual o vetor aceleração?
(a) No instante
(b) No instante
© No instante
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move no espaço, e suas posições em função do tempo são dadas pelas equações:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo para derivar essas funções e encontrar a posição, a velocidade e a aceleração da partícula no instante
segundos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor posição no instante
s. O vetor posição é simplesmente as coordenadas
e
nesse instante.
Para isso, substituímos
nas equações de
e
:
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, calculamos
:
Passo 5
Então, o vetor posição no instante
s é dado por:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o vetor velocidade no instante
s. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo.
Então, derivamos
e
em relação a
:
Passo 7
Substituímos
nas expressões de
e
:
Passo 8
Portanto, o vetor velocidade no instante
s é:
Passo 9
Finalmente, vamos determinar o vetor aceleração no instante
s. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição.
Derivamos novamente
e
:
Resposta
(a) O vetor posição em
s é
.
(b) O vetor velocidade em
s é
.
© O vetor aceleração em
s é
.