Uma particula move-se ao longo do eixo xy. As suas coordenadas săo dadas em função do tempo por
(wt) e
sen (wt), onde
e w são constantes. Mostrar que em cada ponto a velocidade da partícula é perpendicular ao seu vetor de posição. (Sugestão: Mostrar que o produto escalar r.v é sempre igual a zero).
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que se move no plano xy, e as coordenadas dela em função do tempo são dadas por:
Aqui,
e
são constantes. O problema quer que a gente mostre que, em cada ponto da trajetória, a velocidade da partícula é perpendicular ao vetor de posição. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor de posição
da partícula é dado por:
A velocidade
é a derivada do vetor de posição em relação ao tempo. Então, vamos calcular essa derivada.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Derivando cada componente:
Portanto, o vetor velocidade fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar entre o vetor posição
e o vetor velocidade
. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Observamos que os dois termos são iguais em magnitude, mas com sinais opostos. Portanto, eles se cancelam:
Resposta
A velocidade da partícula é perpendicular ao seu vetor de posição em cada ponto.