Uma particula move-se ao longo do eixo xy. As suas coordenadas săo dadas em função do tempo por x=R cos (wt) e y=R sen (wt), onde R e w são constantes. Mostrar que em cada ponto a velocidade da partícula é perpendicular ao seu vetor de posição. (Sugestão: Mostrar que o produto escalar r.v é sempre igual a zero).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que se move no plano xy, e as coordenadas dela em função do tempo são dadas por:
x = R cos(omega t)
y = R sin(omega t)
Aqui, e são constantes. O problema quer que a gente mostre que, em cada ponto da trajetória, a velocidade da partícula é perpendicular ao vetor de posição. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor de posição r(t) = ( R cos(omega t), , R sin(omega t) ) da partícula é dado por:
A velocidade é a derivada do vetor de posição em relação ao tempo. Então, vamos calcular essa derivada.

Passo 3

Calculando a derivada de v(t) = drdt = ( ddt ( R cos(omega t) ), , ddt ( R sin(omega t) ) ) :
ddt ( R cos(omega t) ) = -R omega sin(omega t)
Derivando cada componente:
ddt ( R sin(omega t) ) = R omega cos(omega t)
v(t) = ( -R omega sin(omega t), , R omega cos(omega t) )
Portanto, o vetor velocidade fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar entre o vetor posição a cdot b = ax bx + ay by e o vetor velocidade r(t) cdot v(t) = ( R cos(omega t) ) ( -R omega sin(omega t) ) + ( R sin(omega t) ) ( R omega cos(omega t) ) . O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
r(t) cdot v(t) = -R^2 omega cos(omega t) sin(omega t) + R^2 omega sin(omega t) cos(omega t)
Observamos que os dois termos são iguais em magnitude, mas com sinais opostos. Portanto, eles se cancelam:
r(t) cdot v(t) = 0

Resposta

A velocidade da partícula é perpendicular ao seu vetor de posição em cada ponto.

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