4)Uma partícula se move em trajetória curva de raio 300 m a partir
. Se a
, achar a velocidade e a aceleração em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move em uma trajetória curva com raio de 300 metros, começando de θ = 0. A derivada angular em relação ao tempo, ou seja, θ̇, é igual a 3 t². Nosso objetivo é encontrar a velocidade e a aceleração da partícula quando θ for 45 graus. Para isso, vamos usar conceitos de movimento circular, como velocidade angular e aceleração centrípeta e tangencial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o tempo t quando o ângulo θ é de 45 graus. Como geralmente trabalhamos com radianos nas equações de movimento circular, vamos converter 45 graus para radianos:
Sabemos que θ(t) é a integral de θ̇ em relação ao tempo. Então:
Como a partícula parte de θ = 0 quando t = 0, a constante C é 0. Portanto:
Agora, igualamos θ(t) a π/4 para encontrar t:
Passo 3
Com o tempo t encontrado, vamos calcular a velocidade da partícula. A velocidade linear v em movimento circular é dada por:
Já sabemos que r = 300 m e θ̇ = 3t². Substituindo:
Vamos substituir o valor de t que encontramos:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a aceleração da partícula. A aceleração em movimento circular tem duas componentes:
-
Aceleração centrípeta (aₚ), que aponta para o centro da trajetória:
-
Aceleração tangencial (aₜ), que é a derivada da velocidade angular:
Primeiro, vamos encontrar θ̈ (a segunda derivada de θ em relação ao tempo):
Agora, calculamos as acelerações:
Para encontrar a aceleração total a, usamos o teorema de Pitágoras, já que as acelerações centrípeta e tangencial são perpendiculares:
Resposta
A velocidade da partícula em θ = 45° é aproximadamente 770 m/s e a aceleração é aproximadamente 2584 m/s².