4)Uma partícula se move em trajetória curva de raio 300 m a partir de theta=0. Se a dottheta=3 t^2, achar a velocidade e a aceleração em theta=45^circ.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move em uma trajetória curva com raio de 300 metros, começando de θ = 0. A derivada angular em relação ao tempo, ou seja, θ̇, é igual a 3 t². Nosso objetivo é encontrar a velocidade e a aceleração da partícula quando θ for 45 graus. Para isso, vamos usar conceitos de movimento circular, como velocidade angular e aceleração centrípeta e tangencial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o tempo t quando o ângulo θ é de 45 graus. Como geralmente trabalhamos com radianos nas equações de movimento circular, vamos converter 45 graus para radianos:
45° = pi4 radianos
Sabemos que θ(t) é a integral de θ̇ em relação ao tempo. Então:
theta(t) = integral dottheta , dt = integral 3t² , dt = t³ + C ²³
Como a partícula parte de θ = 0 quando t = 0, a constante C é 0. Portanto:
theta(t) = t³ ³
Agora, igualamos θ(t) a π/4 para encontrar t:
t³ = pi4 implies t = (pi4)^13 ³

Passo 3

Com o tempo t encontrado, vamos calcular a velocidade da partícula. A velocidade linear v em movimento circular é dada por:
v = r cdot dottheta
Já sabemos que r = 300 m e θ̇ = 3t². Substituindo:
v = 300 cdot 3t² = 900t² ²²
Vamos substituir o valor de t que encontramos:
t = (pi4)^13 approx 0,925 s
Então:
v approx 900 cdot (0,925)² approx 900 cdot 0,856 approx 770 m/s ²

Passo 4

Agora, vamos calcular a aceleração da partícula. A aceleração em movimento circular tem duas componentes:
  1. Aceleração centrípeta (aₚ), que aponta para o centro da trajetória:
    aₚ = r cdot dottheta² ²
  2. Aceleração tangencial (aₜ), que é a derivada da velocidade angular:
    aₜ = r cdot ddottheta
Primeiro, vamos encontrar θ̈ (a segunda derivada de θ em relação ao tempo):
ddottheta = ddt(3t²) = 6t ²
Agora, calculamos as acelerações:
aₜ = 300 cdot 6t = 1800t approx 1800 cdot 0,925 approx 1665 m/s² ²
aₚ = 300 cdot (3t²)^2 = 300 cdot 9t⁴ approx 300 cdot 9 cdot (0,925)^4 approx 300 cdot 9 cdot 0,731 approx 1978 m/s² ²²
Para encontrar a aceleração total a, usamos o teorema de Pitágoras, já que as acelerações centrípeta e tangencial são perpendiculares:
a = raizaₜ² + aₚ² approx raiz1665² + 1978² approx raiz2.765.225 + 3.912.484 approx raiz6.677.709 approx 2584 m/s² ²²²²²

Resposta

A velocidade da partícula em θ = 45° é aproximadamente 770 m/s e a aceleração é aproximadamente 2584 m/s².

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