4)Uma partícula se move em trajetória curva de raio 300 m a partir . Se a , achar a velocidade e a aceleração em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move em uma trajetória curva com raio de 300 metros, começando de θ = 0. A derivada angular em relação ao tempo, ou seja, θ̇, é igual a 3 t². Nosso objetivo é encontrar a velocidade e a aceleração da partícula quando θ for 45 graus. Para isso, vamos usar conceitos de movimento circular, como velocidade angular e aceleração centrípeta e tangencial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o tempo t quando o ângulo θ é de 45 graus. Como geralmente trabalhamos com radianos nas equações de movimento circular, vamos converter 45 graus para radianos:
Sabemos que θ(t) é a integral de θ̇ em relação ao tempo. Então:
²³
Como a partícula parte de θ = 0 quando t = 0, a constante C é 0. Portanto:
³
Agora, igualamos θ(t) a π/4 para encontrar t:
³

Passo 3

Com o tempo t encontrado, vamos calcular a velocidade da partícula. A velocidade linear v em movimento circular é dada por:
Já sabemos que r = 300 m e θ̇ = 3t². Substituindo:
²²
Vamos substituir o valor de t que encontramos:
Então:
²

Passo 4

Agora, vamos calcular a aceleração da partícula. A aceleração em movimento circular tem duas componentes:
  1. Aceleração centrípeta (aₚ), que aponta para o centro da trajetória:
    ²
  2. Aceleração tangencial (aₜ), que é a derivada da velocidade angular:
Primeiro, vamos encontrar θ̈ (a segunda derivada de θ em relação ao tempo):
²
Agora, calculamos as acelerações:
²
²²
Para encontrar a aceleração total a, usamos o teorema de Pitágoras, já que as acelerações centrípeta e tangencial são perpendiculares:
²²²²²

Resposta

A velocidade da partícula em θ = 45° é aproximadamente 770 m/s e a aceleração é aproximadamente 2584 m/s².

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Cite dois recursos energéticos não renováveis e dois renováveis ou perenes.
Para cada um dos recursos citados, relacione um possível impacto ambiental decorrente de sua exploração/utilização.