Um vaso de pressão cilíndrico tem 10 m de comprimento, diâmetro interno de 3 m e espessura de parede de 5 mm . O vaso é pressurizado com ar a 2 MPa . Determine as variações no comprimento, no diâmetro e na espessura do tubo. Adotar E
GPa e
. (Resp.:
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre um vaso de pressão cilíndrico. A questão nos dá o comprimento, diâmetro interno, espessura da parede, pressão interna, o módulo de Young
e o coeficiente de Poisson
. Nosso objetivo é encontrar como esses fatores fazem variar o comprimento, diâmetro e espessura do vaso. Para resolver isso, vamos usar conceitos de esforços em vasos de pressão e deformações em materiais. Precisamos entender como a pressão interna gera tensões que, por sua vez, causam deformações no vaso.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos. A espessura da parede é 5 mm, ou seja,
m.
Passo 3
Vamos calcular as tensões no vaso. Em um vaso de pressão cilíndrico, existem duas principais tensões: a tensão longitudinal (ao longo do comprimento) e a tensão circunferencial ou de hoop (ao redor do diâmetro).
A tensão longitudinal (
) é dada por:
E a tensão de hoop (
) é:
Onde:
-
Pa (2 MPa) -
m -
m
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular as deformações usando a Lei de Hooke para materiais isotrópicos:
Para o comprimento (
):
Para o diâmetro (
):
Para a espessura (
):
Assumimos que a variação na espessura está relacionada à tensão radial, que em vasos finos é aproximadamente igual à pressão interna:
Assumimos que a variação na espessura está relacionada à tensão radial, que em vasos finos é aproximadamente igual à pressão interna:
Onde
.
Passo 6
Calculando
:
Então:
Passo 7
Calculando
:
Então:
Passo 8
Calculando
:
Como a variação da espessura é pequena e está reduzindo, consideramos o valor absoluto: