Uma partícula movimenta-se de modo que sua posição em função do tempo é dada por r=i+2 t j-t k.
a) Escreva as expressóes para a sua velocidade e aceleração em função do tempo;

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula que se move no espaço, e a posição dela em função do tempo está descrita pela expressão vetorial . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo vetorial, especificamente derivadas, para encontrar a velocidade e a aceleração da partícula em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se v = drdt é a posição, então a velocidade é:

Passo 3

Vamos derivar cada componente da posição:
  • A componente na direção v = 0,i + 2,j - 1,k = 2,j - k é constante ( ), então sua derivada é .
  • A componente na direção é , então sua derivada é .
  • A componente na direção é , então sua derivada é .
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Já que a velocidade a = dvdt é , que são constantes em relação ao tempo, a derivada será:

Passo 5

Derivando cada componente da velocidade:
  • A componente na direção a = 0,i + 0,j + 0,k = 0 é , então sua derivada é .
  • A componente na direção é , que é constante, então sua derivada é .
  • A componente na direção é , que também é constante, então sua derivada é .
Portanto,

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é e a aceleração é .

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