Uma partícula movimenta-se no plano x y com uma velocida de v(t)=vx(t) i+vy(t) j e uma aceleração a(t)=ax(t) i+ ay(t) j. Por meio da apropriada avaliação da derivada, mostre que a intensidade de v pode ser constante somente se ax vx+ay vy=0.

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula se movendo no plano com uma velocidade e uma aceleração . A tarefa aqui é mostrar que a intensidade da velocidade pode ser constante apenas se . Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a intensidade ou módulo da velocidade é dada por:
|v| = raizvx^2 + vy^2
Como queremos que a intensidade seja constante, isso significa que não muda com o tempo.

Passo 3

Para que a intensidade seja constante, a derivada do módulo da velocidade em relação ao tempo deve ser zero. Ou seja:
ddt|v| = 0
Vamos derivar a expressão do módulo da velocidade.

Passo 4

Antes de derivar, vamos simplificar a expressão elevando ao quadrado ambos os lados:
|v|^2 = vx^2 + vy^2
Agora, derivamos ambos os lados em relação ao tempo:
ddt( vx^2 + vy^2 ) = 0

Passo 5

Aplicando a regra da derivada para cada termo:
2vx dvxdt + 2vy dvydt = 0
Sabemos que e , pois aceleração é a derivada da velocidade.

Passo 6

Substituindo as acelerações na equação:
2vx ax + 2vy ay = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
vx ax + vy ay = 0

Resposta

A intensidade da velocidade é constante somente se .

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