Uma partícula movimenta-se no plano
com uma velocida
e uma aceleração
. Por meio da apropriada avaliação da derivada, mostre que a intensidade de
pode ser constante somente se
.
Passo 1
Então, a gente tem uma partícula se movendo no plano
com uma velocidade
e uma aceleração
. A tarefa aqui é mostrar que a intensidade da velocidade
pode ser constante apenas se
. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a intensidade ou módulo da velocidade é dada por:
Como queremos que a intensidade seja constante, isso significa que
não muda com o tempo.
Passo 3
Para que a intensidade seja constante, a derivada do módulo da velocidade em relação ao tempo deve ser zero. Ou seja:
Vamos derivar a expressão do módulo da velocidade.
Passo 4
Antes de derivar, vamos simplificar a expressão elevando ao quadrado ambos os lados:
Agora, derivamos ambos os lados em relação ao tempo:
Passo 5
Aplicando a regra da derivada para cada termo:
Sabemos que
e
, pois aceleração é a derivada da velocidade.
Passo 6
Substituindo as acelerações na equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Resposta
A intensidade da velocidade
é constante somente se
.