Um carro é dirigido para o leste por uma distância de 54 km e, então, para norte por mais 32 km e, finalmente, para uma direção 28^circ a noroeste por 27 km . Desenhe o diagrama de vetores e determine o deslocamento total do carro a partir de seu ponto de partida.

Passo 1

Então, a gente tem um carro que faz três trajetos: primeiro para o leste por 54 km, depois para o norte por 32 km, e por último, segue 27 km em uma direção de 28^circ a noroeste. Vamos usar conceitos de vetores e decomposição de vetores para descobrir qual é o deslocamento total do carro desde o ponto de partida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que deslocamento é a diferença entre a posição final e a inicial, considerando a direção e a magnitude. Para somar esses movimentos, vamos representar cada trecho como um vetor e depois somá-los vetorialmente.

Passo 3

Vamos decompor cada vetor nas suas componentes horizontal (x) e vertical (y):
  1. Primeiro trecho (Leste):
    • Direção: Leste
    • Magnitude: 54 km
    • Componentes:
      • km
      • km
  2. Segundo trecho (Norte):
    • Direção: Norte
    • Magnitude: 32 km
    • Componentes:
      • km
      • km
  3. Terceiro trecho (28° a Noroeste):
    • Direção: Noroeste, ou seja, 28° a partir do norte em direção ao oeste.
    • Magnitude: 27 km
    • Para decompor:
      • O ângulo com o eixo y (norte) é 28°, então:
      • km (negativo porque é na direção oeste)
      • km

Passo 4

Vamos calcular as componentes do terceiro trecho:
x3 = -27 times sin(28^circ) approx -27 times 0,4695 approx -12,68 km
y3 = 27 times cos(28^circ) approx 27 times 0,8829 approx 23,86 km

Passo 5

Agora, somamos as componentes de todos os trechos para encontrar as componentes totais do deslocamento:
xtotal = x1 + x2 + x3 = 54 + 0 + (-12,68) = 41,32 km
ytotal = y1 + y2 + y3 = 0 + 32 + 23,86 = 55,86 km

Passo 6

Para encontrar a magnitude do deslocamento total, usamos o teorema de Pitágoras:
Deslocamento = raiz(xtotal)^2 + (ytotal)^2 = raiz(41,32)^2 + (55,86)^2
Deslocamento approx raiz1706,45 + 3125,14 approx raiz4831,59 approx 69,51 km

Resposta

O deslocamento total do carro a partir do ponto de partida é de aproximadamente 69,51 km na direção formada pelas componentes leste e norte calculadas.

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