Uma partícula movimenta-se no plano XY e sua aceleração varia com o tempo, segundo a função:
a=-2 t imath-8 t jmath (S I) e sendo t=0 s c v0=2 imath+8 jmath x=0 m e y=3 m
Pode-se determinar que:
b) O instante em que a velocidade se anula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma partícula que está se mexendo no plano XY. A aceleração dela depende do tempo e é dada pela função:
a = -2 t imath - 8 t jmath
Além disso, sabemos que no instante inicial ( t = 0 segundos):
  • A velocidade inicial é v0 = 2 imath + 8 jmath.
  • A posição inicial é x = 0 metros e y = 3 metros.
O que a gente precisa descobrir é em que momento ( t) a velocidade da partícula fica igual a zero. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente a relação entre aceleração, velocidade e tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a função da velocidade, a gente precisa integrar a aceleração em relação ao tempo.
A aceleração está dividida nas componentes imath (eixo x) e jmath (eixo y). Vamos integrar cada componente separadamente.

Passo 3

Integrando a componente no eixo x:
ax = -2t vx(t) = integral ax , dt = integral -2t , dt = -t^2 + Cx
Sabemos que, no instante inicial ( t = 0), a velocidade no eixo x é v0x = 2. Então:
2 = -0^2 + Cx Cx = 2
Portanto, a função da velocidade no eixo x é:
vx(t) = -t^2 + 2

Passo 4

Agora, vamos integrar a componente no eixo y:
ay = -8t vy(t) = integral ay , dt = integral -8t , dt = -4t^2 + Cy
Sabemos que, no instante inicial ( t = 0), a velocidade no eixo y é v0y = 8. Então:
8 = -4 cdot 0^2 + Cy Cy = 8
Portanto, a função da velocidade no eixo y é:
vy(t) = -4t^2 + 8

Passo 5

Agora, queremos encontrar o instante t em que a velocidade total da partícula é zero. Isso significa que as componentes da velocidade tanto no eixo x quanto no eixo y devem ser zero simultaneamente.
Então, vamos resolver o sistema:
vx(t) = -t^2 + 2 = 0 vy(t) = -4t^2 + 8 = 0

Passo 6

Vamos resolver a primeira equação:
-t^2 + 2 = 0 -t^2 = -2 t^2 = 2 t = raiz2 ou t = -raiz2
Como o tempo não pode ser negativo no nosso contexto, descartamos t = -raiz2.
Agora, resolvendo a segunda equação:
-4t^2 + 8 = 0 -4t^2 = -8 t^2 = 2 t = raiz2 ou t = -raiz2
Novamente, descartamos o valor negativo.
Percebemos que ambas as equações nos dão o mesmo valor para t.

Resposta

A velocidade da partícula se anula no instante t = raiz2 , segundos approx 1,414 , segundos.

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