Uma partícula movimenta-se no plano XY e sua aceleração varia com o tempo, segundo a função:
Pode-se determinar que:
b) O instante em que a velocidade se anula.
b) O instante em que a velocidade se anula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma partícula que está se mexendo no plano XY. A aceleração dela depende do tempo e é dada pela função:
Além disso, sabemos que no instante inicial (
segundos):
- A velocidade inicial é
. - A posição inicial é
metros e metros.
O que a gente precisa descobrir é em que momento (
) a velocidade da partícula fica igual a zero. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente a relação entre aceleração, velocidade e tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a função da velocidade, a gente precisa integrar a aceleração em relação ao tempo.
A aceleração está dividida nas componentes
(eixo x) e
(eixo y). Vamos integrar cada componente separadamente.
Passo 3
Integrando a componente no eixo x:
Sabemos que, no instante inicial (
), a velocidade no eixo x é
. Então:
Portanto, a função da velocidade no eixo x é:
Passo 4
Agora, vamos integrar a componente no eixo y:
Sabemos que, no instante inicial (
), a velocidade no eixo y é
. Então:
Portanto, a função da velocidade no eixo y é:
Passo 5
Agora, queremos encontrar o instante
em que a velocidade total da partícula é zero. Isso significa que as componentes da velocidade tanto no eixo x quanto no eixo y devem ser zero simultaneamente.
Então, vamos resolver o sistema:
Passo 6
Vamos resolver a primeira equação:
Como o tempo não pode ser negativo no nosso contexto, descartamos
.
Agora, resolvendo a segunda equação:
Novamente, descartamos o valor negativo.
Percebemos que ambas as equações nos dão o mesmo valor para
.
Resposta
A velocidade da partícula se anula no instante
.