Uma partícula se movimenta segundo uma trajetória retilínea dentro de um fluido. Devido à resistência exercida pelo fluido, o movimento é descrito pela relação:
onde
é uma constante. Quando
, tem-se
e
.
Determinar: c) a expressão da máxima posição que será alcançada pela partícula.
onde
Determinar: c) a expressão da máxima posição que será alcançada pela partícula.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o movimento de uma partícula que se move em linha reta dentro de um fluido, onde há resistência do fluido que afeta seu movimento. A equação que descreve essa situação é
, onde
é a aceleração,
é a velocidade, e
é uma constante positiva. A gente sabe que, no tempo inicial
, a posição
e a velocidade inicial é
. Nosso objetivo aqui é encontrar a expressão para a posição máxima que a partícula alcança.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação
. A aceleração
é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja,
. Então, podemos reescrever a equação assim:
Isso é uma equação diferencial que relaciona a velocidade
com o tempo
.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis
e
. Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
, temos:
Agora, vamos integrar ambos os lados dessa equação.
Passo 4
Integrando o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver para
. Primeiro, eliminamos o logaritmo aplicando a exponencial em ambos os lados:
Podemos escrever
como uma nova constante
, que é a velocidade inicial. Então:
Passo 6
Agora que temos a expressão para a velocidade em função do tempo, podemos encontrar a posição
integrando a velocidade:
Integrando, obtemos:
onde
é outra constante de integração.
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
quando
para encontrar
:
Então, a expressão para a posição fica:
Passo 8
Para encontrar a posição máxima, observamos o comportamento de
quando
tende ao infinito. Quando
, o termo
tende a zero, então:
Resposta
A posição máxima que será alcançada pela partícula é
.