Uma partícula se movimenta segundo uma trajetória retilínea dentro de um fluido. Devido à resistência exercida pelo fluido, o movimento é descrito pela relação:
a=-k v
onde k é uma constante. Quando t=0, tem-se x=0 e v=v 0.
Determinar: c) a expressão da máxima posição que será alcançada pela partícula.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o movimento de uma partícula que se move em linha reta dentro de um fluido, onde há resistência do fluido que afeta seu movimento. A equação que descreve essa situação é , onde é a aceleração, é a velocidade, e é uma constante positiva. A gente sabe que, no tempo inicial , a posição e a velocidade inicial é . Nosso objetivo aqui é encontrar a expressão para a posição máxima que a partícula alcança.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dvdt = -k v . A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, . Então, podemos reescrever a equação assim:
Isso é uma equação diferencial que relaciona a velocidade com o tempo .

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis dvv = -k , dt e . Dividindo ambos os lados por e multiplicando por , temos:
Agora, vamos integrar ambos os lados dessa equação.

Passo 4

Integrando o lado esquerdo em relação a integral dvv = integral -k , dt e o lado direito em relação a ln |v| = -k t + C :
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver para v = e^-k t + C = e^C cdot e^-k t . Primeiro, eliminamos o logaritmo aplicando a exponencial em ambos os lados:
v = v0 e^-k t
Podemos escrever como uma nova constante , que é a velocidade inicial. Então:

Passo 6

Agora que temos a expressão para a velocidade em função do tempo, podemos encontrar a posição x(t) = integral v , dt = integral v0 e^-k t , dt integrando a velocidade:
x(t) = -v0k e^-k t + C'
Integrando, obtemos:
onde é outra constante de integração.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial 0 = -v0k e^0 + C' Rightarrow C' = v0k quando x(t) = v0k (1 - e^-k t) para encontrar :
Então, a expressão para a posição fica:

Passo 8

Para encontrar a posição máxima, observamos o comportamento de xmáx = v0k (1 - 0) = v0k quando tende ao infinito. Quando , o termo tende a zero, então:
á

Resposta

A posição máxima que será alcançada pela partícula é .

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