Uma partícula se movimenta segundo uma trajetória retilínea dentro de um fluido. Devido à resistência exercida pelo fluido, o movimento é descrito pela relação:
onde
é uma constante. Quando
, tem-se
e
.
Determinar: b) a posição da partícula em função do tempo,
;
onde
Determinar: b) a posição da partícula em função do tempo,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula se movendo em linha reta dentro de um fluido, e a resistência do fluido faz com que a aceleração da partícula seja proporcional à sua velocidade, conforme a relação
. Nosso objetivo aqui é descobrir como a posição da partícula,
, varia com o tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e equações diferenciais que descrevem o movimento com resistência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que nos foi dada:
. Aqui,
é a aceleração da partícula,
é a velocidade, e
é uma constante positiva que representa a intensidade da resistência do fluido.
Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, podemos reescrever a equação como:
Passo 3
Essa é uma equação diferencial que relaciona a variação da velocidade com o tempo. Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis
e
:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
. Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para achar
, usamos a condição inicial que foi dada: quando
,
. Substituindo esses valores na equação:
Então nossa equação fica:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação usando propriedades dos logaritmos:
Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Agora temos a expressão para a velocidade em função do tempo.
Passo 7
Para encontrar a posição
, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
A integral de
em relação a
é
, então:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 8
Usamos novamente a condição inicial da posição: quando
,
. Substituindo na equação:
Então a expressão final para
é:
Resposta
A posição da partícula em função do tempo é: