Uma partícula se movimenta segundo uma trajetória retilínea dentro de um fluido. Devido à resistência exercida pelo fluido, o movimento é descrito pela relação:
a=-k v
onde k é uma constante. Quando t=0, tem-se x=0 e v=v 0.
Determinar: b) a posição da partícula em função do tempo, x=x(t);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula se movendo em linha reta dentro de um fluido, e a resistência do fluido faz com que a aceleração da partícula seja proporcional à sua velocidade, conforme a relação . Nosso objetivo aqui é descobrir como a posição da partícula, , varia com o tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e equações diferenciais que descrevem o movimento com resistência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que nos foi dada: a = dvdt . Aqui, dvdt = -k v é a aceleração da partícula, é a velocidade, e é uma constante positiva que representa a intensidade da resistência do fluido.
Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, podemos reescrever a equação como:

Passo 3

Essa é uma equação diferencial que relaciona a variação da velocidade com o tempo. Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis dvv = -k , dt e :

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
integral dvv = integral -k , dt
A integral de ln |v| = -k t + C em relação a é , e a integral de em relação a é . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para achar ln |v0| = -k cdot 0 + C implies C = ln v0 , usamos a condição inicial que foi dada: quando ln v = -k t + ln v0 , . Substituindo esses valores na equação:
Então nossa equação fica:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação usando propriedades dos logaritmos:
ln v - ln v0 = -k t implies ln(vv0) = -k t
Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
vv0 = e^-k t implies v = v0 e^-k t
Agora temos a expressão para a velocidade em função do tempo.

Passo 7

Para encontrar a posição x(t) = integral v , dt = integral v0 e^-k t , dt , precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
x(t) = -v0k e^-k t + C
A integral de em relação a é , então:
Onde é outra constante de integração.

Passo 8

Usamos novamente a condição inicial da posição: quando 0 = -v0k e^-k cdot 0 + C implies 0 = -v0k + C implies C = v0k , x(t) = v0k (1 - e^-k t) . Substituindo na equação:
Então a expressão final para é:

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é:
x(t) = v0k (1 - e^-k t)

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