Uma partícula em movimento unidimensional possui aceleração dada por a(t)=t^2-1(m / s^2). Sabe-se que no instante t=0 a sua velocidade e posição são, respectivamente, iguais a zero e 1,0 m. (a) Onde e quando a partícula para (considere t >= 0 )? (b) Em que região o movimento é acelerado? E retardado? © Qual a velocidade média entre 1,0 s e 2,0 s?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move em uma linha reta com uma aceleração que depende do tempo, dada por $ a(t) = t^{2} - 1 , \mathrm{m/s}^{2} $. No começo, quando $ t = 0 $, a velocidade dela é zero e a posição é $ 1,0 , \mathrm{m} $. Vamos resolver três perguntas:
(a) Quando e onde a partícula para?
(b) Em que momentos o movimento é acelerado ou retardado?
© Qual é a velocidade média entre 1,0 s e 2,0 s?
Para resolver isso, vamos precisar integrar a aceleração para encontrar a velocidade e a posição, e analisar esses resultados para responder cada parte da questão.

Passo 2

Parte (a): Onde e quando a partícula para?
Primeiro, vamos encontrar a equação da velocidade. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade, então para encontrar a velocidade, vamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
A aceleração dada é:
a(t) = t^2 - 1
Integrando para obter a velocidade:
v(t) = integral a(t) , dt = integral (t^2 - 1) , dt = t^33 - t + C
Usamos a condição inicial $ v(0) = 0 $ para encontrar a constante $ C $:
v(0) = 0
Então, a equação da velocidade é:
C
A partícula para quando a velocidade é zero:
v(0) = 0^33 - 0 + C = 0 Rightarrow C = 0
v(t) = t^33 - t
Isso dá duas soluções: $ t = 0 $ e $ \frac{t^{2}}{3} - 1 = 0 $. Já sabemos que em $ t = 0 $ já estava parada, queremos quando ela para novamente:
Resolvendo $ \frac{t^{2}}{3} - 1 = 0 $:
t^33 - t = 0
t(t^23 - 1) = 0
Agora, para achar a posição quando para, vamos integrar a velocidade para obter a posição.
Integrando $ v(t) $:
t = 0
Usando a condição inicial $ x(0) = 1,0 , \mathrm{m} $:
t^23 - 1 = 0
Então, a equação da posição é:
t = 0
Agora, substituímos $ t = \sqrt{3} $ na equação da posição:
t^23 - 1 = 0
t^2 = 3
t = raiz3 approx 1,732 , s

Passo 3

Parte (b): Em que região o movimento é acelerado? E retardado?
Para determinar onde o movimento é acelerado ou retardado, vamos analisar o sinal da aceleração e da velocidade.
Sabemos que:
  • Acelerado: Quando aceleração e velocidade têm o mesmo sinal.
  • Retardado: Quando aceleração e velocidade têm sinais opostos.
Primeiro, encontramos a expressão da velocidade:
v(t) = t^33 - t
E a aceleração:
a(t) = t^2 - 1
Vamos encontrar os intervalos de tempo onde $ v(t) $ e $ a(t) $ são positivos ou negativos.
  1. Aceleração $ a(t) = t^{2} - 1 $:
    • $ a(t) > 0 $ quando $ t^{2} > 1 \Rightarrow t > 1 $ ou $ t < -1 $ (mas como $ t \geq 0 $, consideramos $ t > 1 $).
    • $ a(t) < 0 $ quando $ t^{2} < 1 \Rightarrow 0 \leq t < 1 $.
  2. Velocidade $ v(t) = \frac{t^{3}}{3} - t $:
    • Encontramos que $ v(t) = 0 $ em $ t = 0 $ e $ t = \sqrt{3} \approx 1,732 , \mathrm{s} $.
    • Para $ 0 < t < \sqrt{3} $, vamos testar um valor, por exemplo $ t = 1 $: v(t)
      - Para $ t > \sqrt{3} $, por exemplo $ t = 2 $:
      a(t)
Agora, analisamos os sinais:
  • Para $ 0 \leq t < 1 $:
    • $ a(t) < 0 $
    • $ v(t) < 0 $ (já que $ t < \sqrt{3} $)
    • Sinais iguais: Movimento acelerado.
  • Para $ 1 \leq t < \sqrt{3} $:
    • $ a(t) > 0 $
    • $ v(t) < 0 $
    • Sinais opostos: Movimento retardado.
  • Para $ t > \sqrt{3} $:
    • $ a(t) > 0 $
    • $ v(t) > 0 $
    • Sinais iguais: Movimento acelerado.

Passo 4

Parte ©: Qual a velocidade média entre 1,0 s e 2,0 s?
A velocidade média $ v_{m} $ entre dois instantes $ t_1 $ e $ t_2 $ é dada por:
vm
Primeiro, encontramos $ x(1,0) $ e $ x(2,0) $ usando a equação da posição:
t1
Calculando $ x(1) $:
t2
Calculando $ x(2) $:
vm = x(t2) - x(t1)t2 - t1
Agora, calculamos a velocidade média:
x(1,0)

Resposta

(a) A partícula para em $ t = \sqrt{3} , \mathrm{s} $ e na posição $ 0,25 , \mathrm{m} $.
(b) O movimento é acelerado para $ 0 \leq t < 1 , \mathrm{s} $ e $ t > \sqrt{3} , \mathrm{s} $, e retardado para $ 1 \leq t < \sqrt{3} , \mathrm{s} $.
© A velocidade média entre 1,0 s e 2,0 s é $ -\frac{1}{4} , \mathrm{m/s} $.

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