Duas partículas, 1 e 2 , deslocam-se ao longo dos eixos x e y com velocidades v1=2 imath cm / s e v2=3 jmath cm / s, respectivamente. Em t=0, elas estão em r1=-3 imath cm e r2=-3 jmath cm. (a) Qual a velocidade da partícula 2 em relação à partícula 1? Como um observador situado em 1 pode afirmar se vai haver ou não colisão entre as partículas? (b) Em que instante as partículas estarão mais próximas uma da outra? Qual é essa distância?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: temos duas partículas que se movem ao longo dos eixos x e y com velocidades conhecidas. No tempo inicial (t = 0), elas têm posições específicas. Precisamos calcular a velocidade de uma partícula em relação à outra e descobrir se elas vão colidir. Além disso, queremos saber em que momento elas estarão mais próximas e qual será essa distância. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de velocidade relativa, movimento vetorial e cálculo de distâncias mínimas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula 2 em relação à partícula 1. A velocidade relativa é basicamente como uma partícula vê a outra se movendo. Matematicamente, isso é dado por:
v2,1 = v2 - v1
Substituindo as velocidades dadas:
v2,1 = 3jmath , cm/s - 2imath , cm/s = -2imath + 3jmath , cm/s
Então, a velocidade da partícula 2 em relação à partícula 1 é -2imath + 3jmath , cm/s.

Passo 3

Agora, vamos verificar se vai haver uma colisão entre as partículas. Para isso, um observador na partícula 1 precisa verificar se as trajetórias das duas partículas vão se interceptar no mesmo ponto e ao mesmo tempo.
As posições das partículas em função do tempo são:
r1(t) = r1,0 + v1 t = -3imath + 2imath t
r2(t) = r2,0 + v2 t = -3jmath + 3jmath t
Para haver colisão, precisamos encontrar um tempo t onde r1(t) = r2(t). Igualando as componentes:
Para o eixo x:
-3 + 2t = 0 implies t = 32 , s
Para o eixo y:
-3 + 3t = 0 implies t = 1 , s
Como os tempos não são iguais, as partículas não estarão no mesmo ponto ao mesmo tempo. Portanto, não haverá colisão.

Passo 4

Para encontrar quando as partículas estarão mais próximas uma da outra, precisamos minimizar a distância entre elas em função do tempo. A distância D(t) entre as partículas é dada pela norma da diferença entre suas posições:
D(t) = |r2(t) - r1(t)|
Calculando a diferença:
r2(t) - r1(t) = (-3jmath + 3jmath t) - (-3imath + 2imath t) = 3imath + (-3 + 3t)jmath - 2imath t
Simplificando:
r2(t) - r1(t) = 3imath + (3t - 3)jmath - 2timath = (3 - 2t)imath + (3t - 3)jmath
A distância é então:
D(t) = raiz(3 - 2t)^2 + (3t - 3)^2
Para encontrar o mínimo, derivamos em relação ao tempo e igualamos a zero:
dDdt = 12D(t) ( -4(3 - 2t) + 6(3t - 3) ) = 0
Resolver isso nos dá t = 1.5 , s.
Calculando a distância nesse instante:
D(1.5) = raiz(3 - 2(1.5))^2 + (3(1.5) - 3)^2 = raiz0^2 + 1.5^2 = 1.5 , cm

Resposta

(a) A velocidade da partícula 2 em relação à partícula 1 é -2imath + 3jmath , cm/s. Um observador na partícula 1 pode verificar se haverá colisão comparando os tempos e posições das partículas; como os tempos de interseção nas direções x e y não são iguais, não haverá colisão.
(b) As partículas estarão mais próximas uma da outra no instante de 1,5 segundos, e essa distância mínima será de 1,5 cm.

Exercícios relacionados