Duas partículas, 1 e 2 , deslocam-se ao longo dos eixos x e y com velocidades
e
, respectivamente. Em
, elas estão em
. (a) Qual a velocidade da partícula 2 em relação à partícula 1? Como um observador situado em 1 pode afirmar se vai haver ou não colisão entre as partículas? (b) Em que instante as partículas estarão mais próximas uma da outra? Qual é essa distância?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: temos duas partículas que se movem ao longo dos eixos x e y com velocidades conhecidas. No tempo inicial (t = 0), elas têm posições específicas. Precisamos calcular a velocidade de uma partícula em relação à outra e descobrir se elas vão colidir. Além disso, queremos saber em que momento elas estarão mais próximas e qual será essa distância. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de velocidade relativa, movimento vetorial e cálculo de distâncias mínimas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula 2 em relação à partícula 1. A velocidade relativa é basicamente como uma partícula vê a outra se movendo. Matematicamente, isso é dado por:
Substituindo as velocidades dadas:
Então, a velocidade da partícula 2 em relação à partícula 1 é
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se vai haver uma colisão entre as partículas. Para isso, um observador na partícula 1 precisa verificar se as trajetórias das duas partículas vão se interceptar no mesmo ponto e ao mesmo tempo.
As posições das partículas em função do tempo são:
Para haver colisão, precisamos encontrar um tempo t onde
. Igualando as componentes:
Para o eixo x:
Para o eixo y:
Como os tempos não são iguais, as partículas não estarão no mesmo ponto ao mesmo tempo. Portanto, não haverá colisão.
Passo 4
Para encontrar quando as partículas estarão mais próximas uma da outra, precisamos minimizar a distância entre elas em função do tempo. A distância
entre as partículas é dada pela norma da diferença entre suas posições:
Calculando a diferença:
Simplificando:
A distância é então:
Para encontrar o mínimo, derivamos em relação ao tempo e igualamos a zero:
Resolver isso nos dá
.
Calculando a distância nesse instante:
Resposta
(a) A velocidade da partícula 2 em relação à partícula 1 é
. Um observador na partícula 1 pode verificar se haverá colisão comparando os tempos e posições das partículas; como os tempos de interseção nas direções x e y não são iguais, não haverá colisão.
(b) As partículas estarão mais próximas uma da outra no instante de 1,5 segundos, e essa distância mínima será de 1,5 cm.