Seja psi uma solução da equação de Schrödinger em uma dimensão com energia E. Mostre que a função de onda psi^prime=A psi também é uma solução com a mesma energia E, qualquer que seja o valor da constante A. (Esse resultado mostra que, quando normalizamos uma função de onda, não ocorre variação da energia associada com a função de onda.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função de onda psi que resolve a equação de Schrödinger numa dimensão com energia E. O que queremos mostrar é que, se você multiplicar essa função por uma constante A, ou seja, considerar psi' = A psi, essa nova função também resolve a equação com a mesma energia E. Isso é importante porque mostra que ao normalizar a função de onda (ajustar sua amplitude sem mudar sua forma), a energia associada a ela não muda.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a equação de Schrödinger estacionária (ou independente do tempo) em uma dimensão. Ela é dada por:
- hbar^22m d^2 psidx^2 + V(x) psi = E psi
Aqui:
  • hbar é a constante de Planck reduzida,
  • m é a massa da partícula,
  • V(x) é o potencial,
  • E é a energia,
  • psi é a função de onda.

Passo 3

Agora, queremos verificar se psi' = A psi também satisfaz essa equação. Vamos substituir psi' na equação de Schrödinger:
- hbar^22m d^2 (A psi)dx^2 + V(x) (A psi) = E (A psi)

Passo 4

Vamos calcular a derivada segunda de psi' = A psi. Como A é uma constante, temos:
d^2 (A psi)dx^2 = A d^2 psidx^2

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
- hbar^22m A d^2 psidx^2 + V(x) A psi = E A psi
Podemos fatorar o A:
A ( - hbar^22m d^2 psidx^2 + V(x) psi ) = E A psi

Passo 6

Observamos que a expressão dentro dos parênteses é exatamente a equação de Schrödinger original para psi:
- hbar^22m d^2 psidx^2 + V(x) psi = E psi
Então:
A (E psi) = E A psi
O que confirma que:
E A psi = E A psi

Resposta

Portanto, mostramos que psi' = A psi também satisfaz a equação de Schrödinger com a mesma energia E, independentemente do valor da constante A. Isso significa que ao normalizar a função de onda, a energia associada a ela permanece inalterada.

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