Seja uma solução da equação de Schrödinger em uma dimensão com energia . Mostre que a função de onda também é uma solução com a mesma energia , qualquer que seja o valor da constante A. (Esse resultado mostra que, quando normalizamos uma função de onda, não ocorre variação da energia associada com a função de onda.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função de onda que resolve a equação de Schrödinger numa dimensão com energia . O que queremos mostrar é que, se você multiplicar essa função por uma constante , ou seja, considerar , essa nova função também resolve a equação com a mesma energia . Isso é importante porque mostra que ao normalizar a função de onda (ajustar sua amplitude sem mudar sua forma), a energia associada a ela não muda.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a equação de Schrödinger estacionária (ou independente do tempo) em uma dimensão. Ela é dada por:
Aqui:
  • é a constante de Planck reduzida,
  • é a massa da partícula,
  • é o potencial,
  • é a energia,
  • é a função de onda.

Passo 3

Agora, queremos verificar se também satisfaz essa equação. Vamos substituir na equação de Schrödinger:

Passo 4

Vamos calcular a derivada segunda de . Como é uma constante, temos:

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
Podemos fatorar o :

Passo 6

Observamos que a expressão dentro dos parênteses é exatamente a equação de Schrödinger original para :
Então:
O que confirma que:

Resposta

Portanto, mostramos que também satisfaz a equação de Schrödinger com a mesma energia , independentemente do valor da constante . Isso significa que ao normalizar a função de onda, a energia associada a ela permanece inalterada.

Exercícios relacionados

Para uma partícula relativística, a relação de de Broglie continua válida, porém o módulo do momento linear é relacionado com a energia pela equação relativística. A energia cinética é dada por . Mostre que o comprimento de onda de de Broglie para uma partícula com energia cinética e massa de repouso é dada por:
.
Um sistema é mantido em repouso e recebe 200 J de calor. Calcule a variação da energia interna.
Um sistema é resfriado de a e, em seguida, é expandido. Se o calor transferido é de -50 J e o trabalho realizado é de -30 J, calcule a variação da energia interna.
Mostre que é uma solução de , com . Aqui é a constante diferente do número de ondas.