Seja
uma solução da equação de Schrödinger em uma dimensão com energia
. Mostre que a função de onda
também é uma solução com a mesma energia
, qualquer que seja o valor da constante A. (Esse resultado mostra que, quando normalizamos uma função de onda, não ocorre variação da energia associada com a função de onda.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função de onda
que resolve a equação de Schrödinger numa dimensão com energia
. O que queremos mostrar é que, se você multiplicar essa função por uma constante
, ou seja, considerar
, essa nova função também resolve a equação com a mesma energia
. Isso é importante porque mostra que ao normalizar a função de onda (ajustar sua amplitude sem mudar sua forma), a energia associada a ela não muda.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a equação de Schrödinger estacionária (ou independente do tempo) em uma dimensão. Ela é dada por:
Aqui:
-
é a constante de Planck reduzida, -
é a massa da partícula, -
é o potencial, -
é a energia, -
é a função de onda.
Passo 3
Agora, queremos verificar se
também satisfaz essa equação. Vamos substituir
na equação de Schrödinger:
Passo 4
Vamos calcular a derivada segunda de
. Como
é uma constante, temos:
Passo 5
Substituindo de volta na equação:
Podemos fatorar o
:
Passo 6
Observamos que a expressão dentro dos parênteses é exatamente a equação de Schrödinger original para
:
Então:
O que confirma que:
Resposta
Portanto, mostramos que
também satisfaz a equação de Schrödinger com a mesma energia
, independentemente do valor da constante
. Isso significa que ao normalizar a função de onda, a energia associada a ela permanece inalterada.
Exercícios relacionados
Para uma partícula relativística, a relação de de Broglie continua válida, porém o módulo do momento linear
é relacionado com a energia
pela equação relativística. A energia cinética é dada por
. Mostre que o comprimento de onda de de Broglie para uma partícula com energia cinética
e massa de repouso
é dada por:
.
Um sistema é mantido em repouso e recebe 200 J de calor. Calcule a variação da energia interna.
Um sistema é resfriado de
a
e, em seguida, é expandido. Se o calor transferido é de -50 J e o trabalho realizado é de -30 J, calcule a variação da energia interna.
Mostre que
é uma solução de
, com
. Aqui
é a constante diferente do número de ondas.